与えられた3つの高階線形同次微分方程式の一般解を求めます。 (1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$ (2) $y^{(3)} + 3y'' + 3y' + y = 0$ (3) $y^{(4)} + y^{(2)} = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの高階線形同次微分方程式の一般解を求めます。

(1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$

(2) $y^{(3)} + 3y'' + 3y' + y = 0$

(3) $y^{(4)} + y^{(2)} = 0$

2. 解き方の手順

各微分方程式に対して、特性方程式を立て、その解を求めます。特性方程式の解の種類に応じて、一般解を構成します。

(1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$

特性方程式は $r^3 + r^2 - 4r - 4 = 0$ です。

これを因数分解すると、 $(r+1)(r-2)(r+2) = 0$ となります。

したがって、特性方程式の解は $r = -1, 2, -2$ です。

これらは相異なる実数解なので、一般解は

$y(x) = c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x}$

となります。

(2) $y^{(3)} + 3y'' + 3y' + y = 0$

特性方程式は $r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0$ です。

これは $(r+1)^3 = 0$ と因数分解できます。

したがって、特性方程式の解は $r = -1$ (三重解) です。

三重解の場合、一般解は

$y(x) = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + c_3x^2e^{-x}$

となります。

(3) $y^{(4)} + y^{(2)} = 0$

特性方程式は $r^4 + r^2 = 0$ です。

これは $r^2(r^2 + 1) = 0$ と因数分解できます。

したがって、特性方程式の解は $r = 0$ (二重解), $r = i, -i$ です。

$r=0$の二重解に対して、$c_1 + c_2 x$が解になります。

$r = i, -i$に対して、$c_3\cos(x) + c_4 \sin(x)$が解になります。

よって一般解は

$y(x) = c_1 + c_2x + c_3\cos(x) + c_4\sin(x)$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $y(x) = c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x}$

(2) $y(x) = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + c_3x^2e^{-x}$

(3) $y(x) = c_1 + c_2x + c_3\cos(x) + c_4\sin(x)$