半径 $a$ の半球の重心を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $a$ の半球の重心を求める問題です。

2. 解き方の手順

半球の重心を求めるには、積分を用いる必要があります。半球の中心を原点とし、z軸を対称軸とする座標系を考えます。半球の密度が均一であると仮定します。

半球の体積を $V$ とすると、$V = \frac{2}{3}\pi a^3$ です。

重心のz座標 $z_c$ は、次の式で求められます。

$z_c = \frac{1}{V} \int z dV$

ここで、$dV$ は微小体積要素を表します。球座標系 $(r, \theta, \phi)$ を用いると、$dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$ となります。半球なので、積分範囲は $0 \le r \le a$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$, $0 \le \phi \le 2\pi$ となります。また、$z = r \cos\theta$ なので、

$z_c = \frac{1}{V} \int_0^a \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\pi} (r \cos\theta) r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$

$z_c = \frac{1}{V} \int_0^a r^3 dr \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^a r^3 dr = \frac{a^4}{4}$

$\int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin(2\theta) d\theta = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\theta)\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1)\right] = \frac{1}{2}$

$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$

したがって、

$z_c = \frac{1}{V} \left( \frac{a^4}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) (2\pi) = \frac{1}{\frac{2}{3}\pi a^3} \frac{\pi a^4}{4} = \frac{3}{2\pi a^3} \frac{\pi a^4}{4} = \frac{3a}{8}$

重心の x座標と y座標は、対称性から 0 となります。

3. 最終的な答え

半径 $a$ の半球の重心は、半球の中心から対称軸に沿って $\frac{3a}{8}$ の位置にあります。