抵抗力のみが働く運動において、一般解が $x = C_1e^{-\frac{t}{a}} + C_2$ で与えられている。以下の初期条件に対して解を求めよ。ただし、$a > 0, v_0 > 0$ とする。 (1) 時刻 $t=0$ で $x=a, v_x=0$ (2) 時刻 $t=0$ で $x=0, v_x=v_0$ (3) 時刻 $t=0$ で $x=a, v_x=-v_0$

1. 問題の内容

抵抗力のみが働く運動において、一般解が $x = C_1e^{-\frac{t}{a}} + C_2$ で与えられている。以下の初期条件に対して解を求めよ。ただし、$a > 0, v_0 > 0$ とする。

(1) 時刻 $t=0$ で $x=a, v_x=0$

(2) 時刻 $t=0$ で $x=0, v_x=v_0$

(3) 時刻 $t=0$ で $x=a, v_x=-v_0$

2. 解き方の手順

まず、$x$ を時間 $t$ で微分して速度 $v_x$ を求める。

$v_x = \frac{dx}{dt} = -\frac{C_1}{a}e^{-\frac{t}{a}}$

次に、各初期条件を適用して $C_1$ と $C_2$ を決定する。

(1) $t=0$ で $x=a, v_x=0$

$x(0) = C_1e^0 + C_2 = C_1 + C_2 = a$

$v_x(0) = -\frac{C_1}{a}e^0 = -\frac{C_1}{a} = 0$

よって $C_1 = 0$ であり、$C_2 = a$。

したがって、$x = a$

(2) $t=0$ で $x=0, v_x=v_0$

$x(0) = C_1e^0 + C_2 = C_1 + C_2 = 0$

$v_x(0) = -\frac{C_1}{a}e^0 = -\frac{C_1}{a} = v_0$

よって $C_1 = -av_0$ であり、$C_2 = av_0$。

したがって、$x = -av_0e^{-\frac{t}{a}} + av_0 = av_0(1 - e^{-\frac{t}{a}})$

(3) $t=0$ で $x=a, v_x=-v_0$

$x(0) = C_1e^0 + C_2 = C_1 + C_2 = a$

$v_x(0) = -\frac{C_1}{a}e^0 = -\frac{C_1}{a} = -v_0$

よって $C_1 = av_0$ であり、$C_2 = a - av_0$。

したがって、$x = av_0e^{-\frac{t}{a}} + a - av_0 = av_0e^{-\frac{t}{a}} - av_0 + a = a(1 + v_0e^{-\frac{t}{a}} - v_0)$

3. 最終的な答え

(1) $x = a$

(2) $x = av_0(1 - e^{-\frac{t}{a}})$

(3) $x = a(1 + v_0e^{-\frac{t}{a}} - v_0)$