$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = 3^2 + 2t(9) + t^2(5^2) = 9 + 18t + 25t^2 = 25t^2 + 18t + 9$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t$ の2次式なので、平方完成をして最小値を求める。

$25t^2 + 18t + 9 = 25(t^2 + \frac{18}{25}t) + 9 = 25(t^2 + \frac{18}{25}t + (\frac{9}{25})^2) - 25(\frac{9}{25})^2 + 9$

$= 25(t + \frac{9}{25})^2 - \frac{81}{25} + 9 = 25(t + \frac{9}{25})^2 + \frac{225 - 81}{25} = 25(t + \frac{9}{25})^2 + \frac{144}{25}$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ の最小値は $t = -\frac{9}{25}$ のとき $\frac{144}{25}$ となる。

よって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$。

3. 最終的な答え

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\frac{12}{5}$ で、そのときの $t$ の値は $-\frac{9}{25}$ である。