毎年度初めに $a$ 円ずつ積み立てる。年利率 $r$ で1年ごとの複利で計算するとき、$n$ 年度末の元利合計を求めよ。

1. 問題の内容

毎年度初めに $a$ 円ずつ積み立てる。年利率 $r$ で1年ごとの複利で計算するとき、$n$ 年度末の元利合計を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$k$ 年目に積み立てた $a$ 円が $n$ 年度末にいくらになるかを考える。$k$ 年目に積み立てた $a$ 円は、$n-k+1$ 年間、年利率 $r$ で複利運用されるので、$a(1+r)^{n-k+1}$ 円になる。したがって、元利合計 $S$ は、

$$S = \sum_{k=1}^n a(1+r)^{n-k+1} = a \sum_{k=1}^n (1+r)^{n-k+1}$$

となる。ここで、$\sum_{k=1}^n (1+r)^{n-k+1}$ は、初項 $(1+r)^n$、公比 $\frac{1}{1+r}$、項数 $n$ の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^n (1+r)^{n-k+1} = \frac{(1+r)^n \left( 1 - \left( \frac{1}{1+r} \right)^n \right)}{1 - \frac{1}{1+r}} = \frac{(1+r)^n \left( 1 - \frac{1}{(1+r)^n} \right)}{\frac{r}{1+r}} = \frac{(1+r)^{n+1} \left( 1 - \frac{1}{(1+r)^n} \right)}{r}$$

$$= \frac{(1+r)^{n+1} - (1+r)}{r} = \frac{(1+r) \left( (1+r)^n - 1 \right)}{r}$$

したがって、

$$S = a \frac{(1+r) \left( (1+r)^n - 1 \right)}{r}$$

3. 最終的な答え

$n$ 年度末の元利合計は、

$a \frac{(1+r) \left( (1+r)^n - 1 \right)}{r}$ 円。