企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売します。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ で表され、財Xの単価は6です。このとき、企業の最適購入量 $x_*$ と最適生産量 $y_*$ を求める問題です。

1. 問題の内容

企業が生産要素Xを用いて財Yを生産し、財Yを単価27で販売します。財Yの生産関数は $y = x^{\frac{2}{3}}$ で表され、財Xの単価は6です。このとき、企業の最適購入量 $x_*$ と最適生産量 $y_*$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

企業の利潤を最大化することを考えます。利潤は、収入から費用を引いたものとして計算できます。収入は $27y$ で、費用は $6x$ です。したがって、利潤 $\pi$ は次の式で表されます。

$\pi = 27y - 6x$

ここで、$y = x^{\frac{2}{3}}$ を代入すると、利潤は $x$ の関数として表されます。

$\pi(x) = 27x^{\frac{2}{3}} - 6x$

利潤を最大化するために、$\pi(x)$ を $x$ で微分し、それを0とおきます。

$\frac{d\pi}{dx} = 27 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} - 6 = 18x^{-\frac{1}{3}} - 6$

$\frac{d\pi}{dx} = 0$ より、

$18x^{-\frac{1}{3}} = 6$

$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

両辺を-3乗すると、

$x = (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$

したがって、最適購入量 $x_* = 27$ です。

このとき、最適生産量 $y_*$ は、

$y_* = x_*^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 3^2 = 9$

3. 最終的な答え

$(x_*, y_*) = (27, 9)$