画像に記載された数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題が含まれます。 (1) 複素数の計算、(2) n進法の計算、(3) 対数、三角関数の計算、(4) 方程式、不等式の計算、(5) 数列の和、(6) 極限の計算、(7) 統計量の計算、(8) 正規分布に従う確率の計算。

1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題が含まれます。

(1) 複素数の計算、(2) n進法の計算、(3) 対数、三角関数の計算、(4) 方程式、不等式の計算、(5) 数列の和、(6) 極限の計算、(7) 統計量の計算、(8) 正規分布に従う確率の計算。

2. 解き方の手順

問題1 (1)

複素数の計算を行います。分母の共役複素数をかけて分母を実数化します。

$\frac{1-2i}{3+i} = \frac{(1-2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{3 - i - 6i + 2i^2}{9 - i^2} = \frac{3 - 7i - 2}{9 + 1} = \frac{1 - 7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

問題1 (2)

$3^{-1} \times 6^{2} \times 12^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 36 \times \frac{1}{\sqrt{12}} = 12 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

問題2 (1)

2進数を10進数に変換します。

$110011_{(2)} = 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51$

問題2 (2)

2進数を10進数に変換します。

$10011010_{(2)} = 1 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 154$

問題3 (1)

対数の計算を行います。底が省略されているので、常用対数とみなします。

$log_10 9 = log_10 3^2 = 2log_10 3$

問題3 (2)

対数の計算を行います。

$2log_2 3 - log_2 18 = log_2 3^2 - log_2 18 = log_2 9 - log_2 18 = log_2 \frac{9}{18} = log_2 \frac{1}{2} = log_2 2^{-1} = -1$

問題3 (3)

三角関数の計算を行います。$\sin \frac{\pi}{8}$は半角の公式を使います。

$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

問題3 (4)

三角関数の計算を行います。$\cos \frac{\pi}{12}$は$\cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})$として加法定理を使います。

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

問題3 (5)

三角関数の計算を行います。

$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

問題3 (6)

逆三角関数の計算を行います。

$arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}$

問題3 (7)

逆三角関数の計算を行います。

$arccos (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$

問題3 (8)

逆三角関数の計算を行います。

$arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

問題4 (1)

二次方程式を解きます。判別式 $D = 3^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0$ なので、解は虚数解です。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{-3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

問題4 (2)

二次方程式を解きます。

$x^2 - 7x - 6 = 0$. 解の公式より $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 24}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{2}$

問題4 (3)

二次不等式を解きます。

$x^2 + 3x - 4 \ge 0$

$(x+4)(x-1) \ge 0$

$x \le -4, x \ge 1$

問題4 (4)

三角方程式を解きます。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$の範囲で$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

問題4 (5)

指数方程式を解きます。

$2^{2x-1} = \frac{1}{8} = 2^{-3}$

$2x - 1 = -3$

$2x = -2$

$x = -1$

問題4 (6)

対数方程式を解きます。

$log_3(x+4) + log_3(x-2) = 3$

$log_3((x+4)(x-2)) = 3$

$(x+4)(x-2) = 3^3 = 27$

$x^2 + 2x - 8 = 27$

$x^2 + 2x - 35 = 0$

$(x+7)(x-5) = 0$

$x = -7, 5$

真数条件より、$x+4 > 0$かつ$x-2 > 0$ つまり、$x > -4$かつ$x > 2$。よって、$x > 2$

したがって、$x=5$

問題4 (7)

対数不等式を解きます。

$log_1(x+1) > -2$

$x+1 > 10^{-2} = \frac{1}{100}$

$x > \frac{1}{100} - 1 = -\frac{99}{100}$

真数条件より、$x+1 > 0$, つまり$x > -1$。したがって、$x > -\frac{99}{100}$

問題5 (1)

数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

問題5 (2)

数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k - 4) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} - 4n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) - 24n}{6} = \frac{n(2n^2+3n+1 + 9n + 9 - 24)}{6} = \frac{n(2n^2 + 12n - 14)}{6} = \frac{n(n^2 + 6n - 7)}{3} = \frac{n(n+7)(n-1)}{3}$

問題6 (1)

極限を求めます。

$\lim_{x\to 3} \frac{x^2 + 2x - 5}{2x^2 - 3x + 1} = \frac{3^2 + 2(3) - 5}{2(3^2) - 3(3) + 1} = \frac{9 + 6 - 5}{18 - 9 + 1} = \frac{10}{10} = 1$

問題6 (2)

極限を求めます。

$\lim_{x\to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x\to 2} \frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x\to 2} \frac{2x+1}{x-3} = \frac{2(2)+1}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5$

問題7

データ: $1, 3, 2, 4, 2, 10, 5, 1, 10, 2$

並び替え: $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 10, 10$

大きさ: 10

平均値: $\frac{1+1+2+2+2+3+4+5+10+10}{10} = \frac{40}{10} = 4$

中央値: $\frac{2+3}{2} = 2.5$

最頻値: 2, 10 (いずれも3回)

範囲: $10-1 = 9$

第一四分位数: 2

第三四分位数: 5

四分位範囲: $5-2 = 3$

四分位偏差: $\frac{3}{2} = 1.5$

分散: $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(1-4)^2 + (1-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (10-4)^2 + (10-4)^2}{10} = \frac{9+9+4+4+4+1+0+1+36+36}{10} = \frac{104}{10} = 10.4$

標準偏差: $\sqrt{10.4} \approx 3.22$

問題8 (1)

$X \sim N(20, 25)$のとき、$P(22 \le X \le 27)$を求めます。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 20}{5}$

$P(22 \le X \le 27) = P(\frac{22-20}{5} \le Z \le \frac{27-20}{5}) = P(0.4 \le Z \le 1.4) = P(Z \le 1.4) - P(Z \le 0.4) \approx 0.9192 - 0.6554 = 0.2638$

問題8 (2)

$X \sim N(20, 25)$のとき、$P(16 \le X \le 23)$を求めます。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 20}{5}$

$P(16 \le X \le 23) = P(\frac{16-20}{5} \le Z \le \frac{23-20}{5}) = P(-0.8 \le Z \le 0.6) = P(Z \le 0.6) - P(Z \le -0.8) = P(Z \le 0.6) - (1 - P(Z \le 0.8)) = P(Z \le 0.6) + P(Z \le 0.8) - 1 \approx 0.7257 + 0.7881 - 1 = 0.5138$

3. 最終的な答え

問題1 (1): $\frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

問題1 (2): $2\sqrt{3}$

問題2 (1): 51

問題2 (2): 154

問題3 (1): $2log_{10}3$

問題3 (2): -1

問題3 (3): $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

問題3 (4): $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

問題3 (5): $\frac{\sqrt{3}}{3}$

問題3 (6): $-\frac{\pi}{4}$

問題3 (7): $\frac{\pi}{6}$

問題3 (8): $\frac{\pi}{3}$

問題4 (1): $\frac{-3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

問題4 (2): $x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{2}$

問題4 (3): $x \le -4, x \ge 1$

問題4 (4): $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

問題4 (5): $x = -1$

問題4 (6): $x=5$

問題4 (7): $x > -\frac{99}{100}$

問題5 (1): $n(n+2)$

問題5 (2): $\frac{n(n+7)(n-1)}{3}$

問題6 (1): 1

問題6 (2): -5

問題7:

平均値: 4

中央値: 2.5

最頻値: 2, 10

範囲: 9

第一四分位数: 2

第三四分位数: 5

四分位範囲: 3

四分位偏差: 1.5

分散: 10.4

標準偏差: $\sqrt{10.4} \approx 3.22$

問題8 (1): 0.2638

問題8 (2): 0.5138