与えられた不定積分 $\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx$ を計算します。ここで、$t$ は変数 $x$ とは独立な定数です。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx$ を計算します。ここで、$t$ は変数 $x$ とは独立な定数です。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項を別々に積分します。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$、C は積分定数) です。定数の不定積分は、その定数に $x$ を掛けたものに積分定数を加えたものです。

$\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx = \int -6x^3 dx + \int 4x dx - \int t^2 dx + \int 3t dx$

各項を積分します。

$\int -6x^3 dx = -6 \int x^3 dx = -6 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 = -\frac{3}{2}x^4 + C_1$

$\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 2x^2 + C_2$

$\int -t^2 dx = -t^2 \int 1 dx = -t^2 x + C_3$

$\int 3t dx = 3t \int 1 dx = 3tx + C_4$

これらを足し合わせます。

$\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx = -\frac{3}{2}x^4 + 2x^2 - t^2x + 3tx + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}x^4 + 2x^2 - t^2 x + 3tx + C$