組み合わせの値を求める問題です。具体的には、次の3つの値を計算します。 (1) ${}_5C_4$ (2) ${}_9C_6$ (3) ${}_{20}C_{18}$

1. 問題の内容

組み合わせの値を求める問題です。具体的には、次の3つの値を計算します。

(1) ${}_5C_4$

(2) ${}_9C_6$

(3) ${}_{20}C_{18}$

2. 解き方の手順

組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算します。また、${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$を利用して計算を簡単にします。

(1) ${}_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$

または、${}_5C_4 = {}_5C_{5-4} = {}_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 5$

(2) ${}_9C_6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

または、${}_9C_6 = {}_9C_{9-6} = {}_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(3) ${}_{20}C_{18} = \frac{20!}{18!(20-18)!} = \frac{20!}{18!2!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{18! \times 2 \times 1} = \frac{20 \times 19}{2} = 10 \times 19 = 190$

または、${}_{20}C_{18} = {}_{20}C_{20-18} = {}_{20}C_2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{2 \times 1 \times 18!} = \frac{20 \times 19}{2} = 10 \times 19 = 190$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 84

(3) 190