袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻すことを4回繰り返す。赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。 (1) $m=4$となる確率を求めよ。 (2) $mn=6$となる確率を求めよ。 (3) $mn$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻すことを4回繰り返す。赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。

(1) $m=4$となる確率を求めよ。

(2) $mn=6$となる確率を求めよ。

(3) $mn$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$となるのは、4回とも赤玉を取り出す場合である。赤玉を取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$なので、$m=4$となる確率は、

$$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$$

(2) $mn=6$となるのは、$m=1, n=6$ または $m=2, n=3$ または $m=3, n=2$ または $m=6, n=1$ のいずれかである。しかし、$m \leq 4$かつ$n \leq 3$なので、$m=6$はありえない。したがって、$m=1, n=6$または$m=2, n=3$または$m=3, n=2$の場合を考える。$n \leq 3$より$n=6$はありえないので、$m=1$の場合もありえない。よって、$mn=6$となるのは、$m=2, n=3$または$m=3, n=2$の場合を考える。

$m=2, n=3$となるのは、赤玉を2回、白玉と青玉をそれぞれ1回取り出す場合である。取り出す順番は全部で$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$通りある。確率は、

$$12 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = 12 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$$

$m=3, n=2$となるのは、赤玉を3回、白玉または青玉を1回取り出す場合である。取り出す順番は全部で$\frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$通りある。赤玉を3回、白玉を1回取り出す確率は、

$$4 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$$

赤玉を3回、青玉を1回取り出す確率は、

$$4 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$$

よって、合計の確率は、$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

したがって、$mn=6$となる確率は、

$$\frac{3}{16} + \frac{1}{4} = \frac{3}{16} + \frac{4}{16} = \frac{7}{16}$$

(3) $mn$の期待値を求める。まず、$m$の確率分布を求める。

$m=0$となる確率は、$(\frac{2}{4})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

$m=1$となる確率は、$4 \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$m=2$となる確率は、$6 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$m=3$となる確率は、$4 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$m=4$となる確率は、$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

$n=1$となるのは、$m=0$かつ白玉または青玉のみの場合と、$m=4$の場合のみ。$m=0$のとき白玉のみ、青玉のみの確率を求めればよい。白玉のみとなる確率は、$(\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$ 青玉のみとなる確率は$(\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$ よって$m=0, n=1$となる確率は$\frac{1}{256} + \frac{1}{256} = \frac{2}{256} = \frac{1}{128}$ 。$m=4$の確率は$\frac{1}{16}$なので、$m=4, n=1$となる確率は$\frac{1}{16}$.

$n=2$のとき、$m=3$となる確率$\frac{1}{4}$.

$n=3$のとき、$m=2$となる確率$\frac{3}{16}$

$m=0$のとき、$n=1$になる確率は $\frac{2}{256}=\frac{1}{128}$

$n=2$になる確率は、$2 \times(\frac{1}{4})^3 (\frac{2}{4}) = 2 (\frac{1}{64}) (\frac{1}{2})=\frac{1}{64}$

$n=3$になる確率は0

$m=1$のとき、$n=2$になる確率、$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$E(mn) = \sum mnP(mn)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $\frac{7}{16}$

(3) $mn$の期待値はここでは計算しません。