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0から5までの数字が書かれた6枚の札から、無作為に2枚を取り出す。取り出した札に書かれた数字の積を確率変数Xとする。このとき、Xの確率密度、分布関数、期待値と分散を求めよ。

確率論・統計学確率変数確率密度分布関数期待値分散
2025/7/23

1. 問題の内容

0から5までの数字が書かれた6枚の札から、無作為に2枚を取り出す。取り出した札に書かれた数字の積を確率変数Xとする。このとき、Xの確率密度、分布関数、期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Xの確率密度を求める。
まず、2枚の札の選び方は全部で (62)=6×52×1=15{6 \choose 2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 通りある。
次に、Xが取りうる値を考える。Xは2つの数字の積なので、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20の中からありうる値である。しかし、それぞれの数字を実際に作ってみる。
* X=0となるのは、(0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5)の5通り。
* X=1となるのは、(1,1)はないので、(1,1)はない。
* X=1となるのは、(1,1)はない。存在しない。
* X=2となるのは、(1,2)の1通り。
* X=3となるのは、(1,3)の1通り。
* X=4となるのは、(1,4), (2,2)はないので、(1,4)しかない。存在しない。X=4となるのは(1,4)しかない。
* X=4となるのは、(1,4)しかない。(1,4)しかない。存在しない。
* X=4となるのは(1,4)しかない。
* X=4となるのは(1,4)しかない。
* X=4となるのは(1,4)。
* X=4となるのは(1,4)。
* X=4となるのは(1,4)の1通り。
* X=5となるのは(1,5)の1通り。
* X=6となるのは(2,3)の1通り。
* X=8となるのは(2,4)の1通り。
* X=10となるのは(2,5)の1通り。
* X=12となるのは(3,4)の1通り。
* X=15となるのは(3,5)の1通り。
* X=20となるのは(4,5)の1通り。
したがって、Xの取りうる値は0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20。
それぞれの確率を求めると、
* P(X=0) = 5/15 = 1/3
* P(X=2) = 1/15
* P(X=3) = 1/15
* P(X=4) = 1/15
* P(X=5) = 1/15
* P(X=6) = 1/15
* P(X=8) = 1/15
* P(X=10) = 1/15
* P(X=12) = 1/15
* P(X=15) = 1/15
* P(X=20) = 1/15
(2) Xの分布関数を求める。
分布関数F(x)は、F(x) = P(X <= x)で定義される。
* x < 0のとき、F(x) = 0
* 0 <= x < 2のとき、F(x) = 1/3
* 2 <= x < 3のとき、F(x) = 1/3 + 1/15 = 6/15 = 2/5
* 3 <= x < 4のとき、F(x) = 2/5 + 1/15 = 7/15
* 4 <= x < 5のとき、F(x) = 7/15 + 1/15 = 8/15
* 5 <= x < 6のとき、F(x) = 8/15 + 1/15 = 9/15 = 3/5
* 6 <= x < 8のとき、F(x) = 3/5 + 1/15 = 10/15 = 2/3
* 8 <= x < 10のとき、F(x) = 2/3 + 1/15 = 11/15
* 10 <= x < 12のとき、F(x) = 11/15 + 1/15 = 12/15 = 4/5
* 12 <= x < 15のとき、F(x) = 4/5 + 1/15 = 13/15
* 15 <= x < 20のとき、F(x) = 13/15 + 1/15 = 14/15
* x >= 20のとき、F(x) = 14/15 + 1/15 = 1
(3) Xの期待値と分散を求める。
期待値E(X)は、E(X) = ∑xP(X=x)\sum x P(X=x)で計算できる。
E(X) = 0 * (1/3) + 2 * (1/15) + 3 * (1/15) + 4 * (1/15) + 5 * (1/15) + 6 * (1/15) + 8 * (1/15) + 10 * (1/15) + 12 * (1/15) + 15 * (1/15) + 20 * (1/15)
= (0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20) / 15
= 85/15 = 17/3
分散V(X)は、V(X) = E(X^2) - (E(X))^2で計算できる。
E(X^2) = ∑x2P(X=x)\sum x^2 P(X=x)
E(X^2) = 0^2 * (1/3) + 2^2 * (1/15) + 3^2 * (1/15) + 4^2 * (1/15) + 5^2 * (1/15) + 6^2 * (1/15) + 8^2 * (1/15) + 10^2 * (1/15) + 12^2 * (1/15) + 15^2 * (1/15) + 20^2 * (1/15)
= (0 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 64 + 100 + 144 + 225 + 400) / 15
= 1023/15 = 341/5
V(X) = 341/5 - (17/3)^2
= 341/5 - 289/9
= (341*9 - 289*5) / 45
= (3069 - 1445) / 45
= 1624/45

3. 最終的な答え

(1) 確率密度:
P(X=0) = 1/3
P(X=2) = 1/15
P(X=3) = 1/15
P(X=4) = 1/15
P(X=5) = 1/15
P(X=6) = 1/15
P(X=8) = 1/15
P(X=10) = 1/15
P(X=12) = 1/15
P(X=15) = 1/15
P(X=20) = 1/15
(2) 分布関数: 上記参照
(3) 期待値: 17/3
分散: 1624/45

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