8人を以下の条件で分ける分け方の総数を求める。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける。 (2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける。

1. 問題の内容

8人を以下の条件で分ける分け方の総数を求める。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける。

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの組に分ける場合

まず、Aの組に入れる2人を選ぶ。これは$_{8}C_{2}$通り。

次に、Bの組に入れる2人を選ぶ。残りの6人から選ぶので$_{6}C_{2}$通り。

次に、Cの組に入れる2人を選ぶ。残りの4人から選ぶので$_{4}C_{2}$通り。

最後に、Dの組には残りの2人が入る。これは$_{2}C_{2}=1$通り。

よって、分け方の総数は、

$_{8}C_{2} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}$

$=\frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1$

$=28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$通り

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

(1)と同様に、8人を4つの組に分ける分け方を考える。

まず、1つ目の組に入れる2人を選ぶ。これは$_{8}C_{2}$通り。

次に、2つ目の組に入れる2人を選ぶ。残りの6人から選ぶので$_{6}C_{2}$通り。

次に、3つ目の組に入れる2人を選ぶ。残りの4人から選ぶので$_{4}C_{2}$通り。

最後に、4つ目の組には残りの2人が入る。これは$_{2}C_{2}=1$通り。

ただし、組には区別がないので、4つの組の並び順は考慮しない。4つの組の並び方は4!通りあるので、(1)の場合の数を4!で割る必要がある。

よって、分け方の総数は、

$\frac{_{8}C_{2} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{4!}$

$=\frac{28 \times 15 \times 6 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$通り

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り