つるまきバネに50gのおもりをつるすと全長が22cm、80gのおもりをつるすと全長が28cmになる。何もつるさないときのバネの長さと、このバネの弾性定数を求めよ。

1. 問題の内容

つるまきバネに50gのおもりをつるすと全長が22cm、80gのおもりをつるすと全長が28cmになる。何もつるさないときのバネの長さと、このバネの弾性定数を求めよ。

2. 解き方の手順

* フックの法則より、バネの伸びは重りに比例する。

* 重りをつるさないときのバネの長さを$L_0$、弾性定数を$k$とする。

* バネの伸びは、おもりの重さに比例するので、

$50g$のおもりをつるしたときの伸びは $22 - L_0$

$80g$のおもりをつるしたときの伸びは $28 - L_0$

* フックの法則より、$F = kx$。重力加速度を$g$とすると、

$50g \cdot g = k (22 - L_0)$

$80g \cdot g = k (28 - L_0)$

* 二つの式を割り算すると、

$\frac{50}{80} = \frac{22 - L_0}{28 - L_0}$

$\frac{5}{8} = \frac{22 - L_0}{28 - L_0}$

* これを解くと、

$5(28 - L_0) = 8(22 - L_0)$

$140 - 5L_0 = 176 - 8L_0$

$3L_0 = 36$

$L_0 = 12$

* よって、重りをつるさないときのバネの長さは$12cm$である。

* $50g \cdot g = k(22 - 12)$ に$L_0 = 12$を代入すると、

$50g \cdot g = 10k$

$k = 5g$

ここでは、$g$の単位を$cm/s^2$として扱うことにする。

$k = 5 (g \cdot cm)$ となる。重力$1g$は$980 dyn$に等しいので, $k = 5 * 980dyn/cm = 490 dyn/cm$

* 単位をN/mで表すと

$k = 0.49 N/m$

* まとめ

重りをつるさないときのバネの長さ$L_0$を求め、その後、フックの法則を用いて弾性定数$k$を求める。

3. 最終的な答え

何もつるさないときのバネの長さ：12 cm

ばねの弾性定数：$0.49 N/m$