一様な密度 $\rho$ の材質でできた次の形状の物体の質量と質量中心を求めます。 (a) 厚さ $t$, 中心角 $2\alpha$, 半径 $a$ の扇形の板 (b) 半径 $a$ の半球 (c) 半径 $a$, 厚さ $t$ ($t \ll a$) の半球殻

1. 問題の内容

一様な密度 $\rho$ の材質でできた次の形状の物体の質量と質量中心を求めます。

(a) 厚さ $t$, 中心角 $2\alpha$, 半径 $a$ の扇形の板

(b) 半径 $a$ の半球

(c) 半径 $a$, 厚さ $t$ ($t \ll a$) の半球殻

2. 解き方の手順

(a) 扇形の板の場合

質量：

扇形の面積は $S = \frac{1}{2}a^2 (2\alpha) = a^2 \alpha$ です。

したがって、体積は $V = S t = a^2 \alpha t$ です。

質量は $M = \rho V = \rho a^2 \alpha t$ です。

質量中心：

扇形の対称性から、質量中心は中心角の二等分線上にあります。

原点を扇形の中心とし、x軸を対称軸とします。

質量中心のx座標 $x_c$ は次の積分で求められます。

$x_c = \frac{1}{M} \int x dm$

$dm = \rho t r dr d\theta$

$x = r \cos \theta$

積分範囲は $0 \leq r \leq a$, $-\alpha \leq \theta \leq \alpha$

$x_c = \frac{1}{\rho a^2 \alpha t} \int_{-\alpha}^{\alpha} \int_0^a \rho t r^2 \cos \theta dr d\theta$

$x_c = \frac{1}{a^2 \alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} \cos \theta d\theta \int_0^a r^2 dr$

$x_c = \frac{1}{a^2 \alpha} [ \sin \theta ]_{-\alpha}^{\alpha} [\frac{1}{3}r^3]_0^a$

$x_c = \frac{1}{a^2 \alpha} (2 \sin \alpha) (\frac{1}{3}a^3)$

$x_c = \frac{2a \sin \alpha}{3 \alpha}$

質量中心のy座標は0です。

(b) 半径 $a$ の半球の場合

質量：

半球の体積は $V = \frac{2}{3} \pi a^3$ です。

質量は $M = \rho V = \frac{2}{3} \pi \rho a^3$ です。

質量中心：

半球の対称性から、質量中心はz軸（半球の中心から垂直方向に伸びる軸）上にあります。

原点を半球の中心とします。

質量中心のz座標 $z_c$ は次の積分で求められます。

$z_c = \frac{1}{M} \int z dm$

$dm = \rho r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$

$z = r \cos \theta$

積分範囲は $0 \leq r \leq a$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, $0 \leq \phi \leq 2\pi$

$z_c = \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a \rho r^3 \cos \theta \sin \theta dr d\theta d\phi$

$z_c = \frac{1}{M} \rho (2\pi) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta d\theta \int_0^a r^3 dr$

$z_c = \frac{3}{2\pi \rho a^3} \rho (2\pi) [\frac{1}{2}\sin^2 \theta]_0^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{4}r^4]_0^a$

$z_c = \frac{3}{a^3} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{4}a^4)$

$z_c = \frac{3}{8} a$

質量中心のx座標とy座標は0です。

(c) 半径 $a$, 厚さ $t$ ($t \ll a$) の半球殻の場合

質量：

半球殻の表面積は $S = 2\pi a^2$ です。

体積は $V = S t = 2\pi a^2 t$ です。

質量は $M = \rho V = 2\pi \rho a^2 t$ です。

質量中心：

質量中心のz座標 $z_c$ は次の積分で求められます。

$z_c = \frac{1}{M} \int z dm$

$dm = \rho t a^2 \sin \theta d\theta d\phi$

$z = a \cos \theta$

積分範囲は $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, $0 \leq \phi \leq 2\pi$

$z_c = \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \rho t a^3 \cos \theta \sin \theta d\theta d\phi$

$z_c = \frac{1}{2\pi \rho a^2 t} \rho t a^3 (2\pi) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta d\theta$

$z_c = \frac{a}{[\sin^2 \theta]_0^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{a}{2}$

質量中心のx座標とy座標は0です。

3. 最終的な答え

(a) 扇形の板：質量 $M = \rho a^2 \alpha t$, 質量中心 $(\frac{2a \sin \alpha}{3 \alpha}, 0)$

(b) 半径 $a$ の半球：質量 $M = \frac{2}{3} \pi \rho a^3$, 質量中心 $(0, 0, \frac{3}{8} a)$

(c) 半径 $a$, 厚さ $t$ の半球殻：質量 $M = 2\pi \rho a^2 t$, 質量中心 $(0, 0, \frac{a}{2})$