1の4乗根を求めよ。つまり、$x^4 = 1$ を満たす複素数 $x$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

1の4乗根を求めよ。つまり、$x^4 = 1$ を満たす複素数 $x$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

$x^4 = 1$を解く。

$x^4 - 1 = 0$

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$

よって、$x = 1$, $x = -1$, または $x^2 = -1$.

$x^2 = -1$ より、$x = i$ または $x = -i$.

あるいは、極形式を利用して解く。

$x^4 = 1$ を極形式で表すと、

$x = r (\cos \theta + i \sin \theta)$ とおく。

$x^4 = r^4 (\cos 4\theta + i \sin 4\theta) = 1 = 1 + 0i$

よって、$r^4 = 1$ より、$r = 1$ (rは正の実数)

$\cos 4\theta = 1$ かつ $\sin 4\theta = 0$

$4\theta = 2n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{n\pi}{2}$

$n = 0$ のとき、$\theta = 0$ なので、$x = \cos 0 + i \sin 0 = 1$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$ なので、$x = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$

$n = 2$ のとき、$\theta = \pi$ なので、$x = \cos \pi + i \sin \pi = -1$

$n = 3$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ なので、$x = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$

$n = 4$ のとき、$\theta = 2\pi$ なので、$x = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$

3. 最終的な答え

1の4乗根は、$1, -1, i, -i$ である。