## 問題の解答

## 問題の解答

以下に、画像に示された3つの積分問題を解きます。

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1. 問題の内容

1. 積分 $\iint_D \frac{1}{(x+y+1)^3} dxdy$ を計算します。ここで、$D$ は $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ で定義される領域です。

2. 積分 $\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2+1)^2} dxdy$ を計算します。ここで、$D$ は全平面です。

3. 積分 $\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy$ を計算します。ここで、$D$ は $x^2+y^2 \ge 1$ で定義される領域です。

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2. 解き方の手順

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1.

まず、$x$ で積分し、次に $y$ で積分します。積分の範囲は $x: [0, \infty)$ と $y: [0, \infty)$ です。

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\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+y+1)^3} dx dy

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まず、$x$ で積分します。

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\int_{0}^{\infty} \left[ -\frac{1}{2(x+y+1)^2} \right]_{x=0}^{x=\infty} dy = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2(y+1)^2} dy

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次に、$y$ で積分します。

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\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2(y+1)^2} dy = \left[ -\frac{1}{2(y+1)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}

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2.

極座標に変換します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = rdrd\theta$。積分範囲は $r: [0, \infty)$ と $\theta: [0, 2\pi)$ です。

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\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2+1)^2} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{r}{(r^2+1)^2} dr d\theta

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まず、$r$ で積分します。$u = r^2+1$ とすると、$du = 2rdr$ です。

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\int_{0}^{\infty} \frac{r}{(r^2+1)^2} dr = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^2} du = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}

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次に、$\theta$ で積分します。

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\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \pi

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3.

極座標に変換します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = rdrd\theta$。積分範囲は $r: [1, \infty)$ と $\theta: [0, 2\pi)$ です。

$$$$

\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{\infty} \frac{r}{(r^2)^2} dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{r^3} dr d\theta

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まず、$r$ で積分します。

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\int_{1}^{\infty} \frac{1}{r^3} dr = \left[ -\frac{1}{2r^2} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}

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次に、$\theta$ で積分します。

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\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \pi

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3. 最終的な答え

1. $\frac{1}{2}$

2. $\pi$

3. $\pi$