## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

以下の3つの重積分を求める問題です。

1. $\iint_D \frac{1}{(x+y+1)^3} dxdy$, $D: x \geq 0, y \geq 0$

2. $\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2+1)^2} dxdy$, $D:$ 全平面

3. $\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy$, $D: x^2+y^2 \geq 1$

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2. 解き方の手順

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1. $\iint_D \frac{1}{(x+y+1)^3} dxdy$, $D: x \geq 0, y \geq 0$

まず、積分範囲を明示的に書き下します。

$\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{1}{(x+y+1)^3} dxdy$

内側の積分を計算します。

$\int_0^\infty \frac{1}{(x+y+1)^3} dx = \left[-\frac{1}{2(x+y+1)^2}\right]_0^\infty = \frac{1}{2(y+1)^2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^\infty \frac{1}{2(y+1)^2} dy = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{(y+1)^2} dy = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{y+1}\right]_0^\infty = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

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2. $\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2+1)^2} dxdy$, $D:$ 全平面

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = rdrd\theta$。

積分範囲は $0 \leq r < \infty$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

$\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2+1)^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty \frac{r}{(r^2+1)^2} drd\theta$

内側の積分を計算します。

$u = r^2 + 1$ と置換すると、$du = 2rdr$ より、$rdr = \frac{1}{2}du$。

$\int_0^\infty \frac{r}{(r^2+1)^2} dr = \frac{1}{2} \int_1^\infty \frac{1}{u^2} du = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{u}\right]_1^\infty = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} [ \theta ]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

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3. $\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy$, $D: x^2+y^2 \geq 1$

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = rdrd\theta$。

積分範囲は $1 \leq r < \infty$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

$\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_1^\infty \frac{r}{r^4} drd\theta = \int_0^{2\pi} \int_1^\infty \frac{1}{r^3} drd\theta$

内側の積分を計算します。

$\int_1^\infty \frac{1}{r^3} dr = \left[-\frac{1}{2r^2}\right]_1^\infty = -\frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{1}{2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} [ \theta ]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

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3. 最終的な答え

1. $\frac{1}{2}$

2. $\pi$

3. $\pi$