8人の生徒の小テストの点数が5, 5, 6, 7, 8, 10, a, bである。この小テストの平均が7で分散が3であるとき、aとbの値を求める。

1. 問題の内容

8人の生徒の小テストの点数が5, 5, 6, 7, 8, 10, a, bである。この小テストの平均が7で分散が3であるとき、aとbの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、平均が7であるという条件から、a + b の値を求める。

8人のテストの点数の合計は、$5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + a + b$ であり、平均が7なので、

$\frac{5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + a + b}{8} = 7$

$41 + a + b = 56$

$a + b = 15$

次に、分散が3であるという条件から、aとbに関する別の式を立てる。

分散は、各データの偏差の2乗の平均である。平均値は7なので、分散は

$\frac{(5-7)^2 + (5-7)^2 + (6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$

$\frac{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$

$\frac{4 + 4 + 1 + 0 + 1 + 9 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$

$19 + (a-7)^2 + (b-7)^2 = 24$

$(a-7)^2 + (b-7)^2 = 5$

$a + b = 15$ より、$b = 15 - a$ なので、これを分散の式に代入する。

$(a-7)^2 + (15 - a - 7)^2 = 5$

$(a-7)^2 + (8 - a)^2 = 5$

$a^2 - 14a + 49 + 64 - 16a + a^2 = 5$

$2a^2 - 30a + 113 = 5$

$2a^2 - 30a + 108 = 0$

$a^2 - 15a + 54 = 0$

$(a - 6)(a - 9) = 0$

$a = 6$ または $a = 9$

$a = 6$ のとき、$b = 15 - 6 = 9$

$a = 9$ のとき、$b = 15 - 9 = 6$

したがって、a = 6, b = 9 または a = 9, b = 6

3. 最終的な答え

a = 6, b = 9 または a = 9, b = 6