$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く。 (1) $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く。

(1) $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ （$n$ は整数）である。

したがって、

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$

$2\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta = \pi + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ または $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$

$0 \leq \theta < 2\pi$ であるから、

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ または $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

(2) 不等式 $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

$x = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ とすると、$\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

$-\frac{\pi}{3} \leq x < 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3} + 2n\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{3} + 2n\pi$

$\frac{2\pi}{3} + 2n\pi \leq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leq \frac{7\pi}{3} + 2n\pi$

$\pi + 2n\pi \leq 2\theta \leq \frac{8\pi}{3} + 2n\pi$

$\frac{\pi}{2} + n\pi \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3} + n\pi$

$0 \leq \theta < 2\pi$ であるから、

$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} \leq \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{2} \leq \theta < 2\pi$