次の2つの関数の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。 (1) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ ($0 \le \theta \le \pi$) (2) $y = 2\cos^2\theta + 2\sin\theta + 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2つの関数の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

(1) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ ($0 \le \theta \le \pi$)

(2) $y = 2\cos^2\theta + 2\sin\theta + 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1)

$\theta$の範囲が$0 \le \theta \le \pi$なので、$\theta + \frac{\pi}{6}$の範囲は$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$となる。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$の最大値は1で、$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$のとき、つまり$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$のときに最大値1をとる。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$の最小値は$-1/2$で、$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$のとき、つまり$\theta = \pi$のときに最小値$-1/2$をとる。

(2)

$y = 2\cos^2\theta + 2\sin\theta + 1$を$\sin\theta$で表す。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$なので、

$y = 2(1 - \sin^2\theta) + 2\sin\theta + 1 = -2\sin^2\theta + 2\sin\theta + 3$となる。

$t = \sin\theta$とおくと、$-1 \le t \le 1$であり、

$y = -2t^2 + 2t + 3 = -2(t^2 - t) + 3 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \times 2 + 3 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + 4$となる。

$y$は$t = \frac{1}{2}$のとき最大値4をとる。

$\sin\theta = \frac{1}{2}$となる$\theta$は$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$t = -1$のとき、$y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 3 = -2 - 2 + 3 = -1$となる。

$\sin\theta = -1$となる$\theta$は$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

最大値: 1 ($\theta = \frac{\pi}{3}$のとき)

最小値: $-\frac{1}{2}$ ($\theta = \pi$のとき)

(2)

最大値: 4 ($\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$のとき)

最小値: -1 ($\theta = \frac{3\pi}{2}$のとき)