問題1は、与えられた関数 $f(x)$ について、$x=0$ におけるテイラー展開を求める問題です。 問題2は、与えられた関数 $f(x)$ について、$x=0$ におけるテイラー展開を、指定された項まで求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた関数 $f(x)$ について、$x=0$ におけるテイラー展開を求める問題です。

問題2は、与えられた関数 $f(x)$ について、$x=0$ におけるテイラー展開を、指定された項まで求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1から順番に解いていきます。

(1) $f(x) = \cosh x$

$\cosh x$ のテイラー展開は、

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ であり、$e^x$ のテイラー展開が $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ であることを利用すると、

$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

(2) $f(x) = \sinh x$

$\sinh x$ のテイラー展開は、

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ であり、$e^x$ のテイラー展開が $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ であることを利用すると、

$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

(3) $f(x) = \cos 2x$

$\cos x$ のテイラー展開は $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ であるので、

$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$

(4) $f(x) = \sin 2x$

$\sin x$ のテイラー展開は $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ であるので、

$\sin 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} = 2x - \frac{8x^3}{3!} + \frac{32x^5}{5!} - \cdots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \cdots$

(5) $f(x) = \cos^2 x$

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ であるので、(3)の結果を利用すると、

$\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots) = 1 - x^2 + \frac{1}{6}x^4 - \cdots$

(6) $f(x) = \sin^2 x$

$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ であるので、(3)の結果を利用すると、

$\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots) = x^2 - \frac{1}{6}x^4 + \cdots$

問題2

(1) $f(x) = \tan x$

$\tan x$ のテイラー展開を $x^5$ の項まで求める。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

(2) $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(3) $\cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!}$

(4) $\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(5) $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{6}x^4 - \cdots$

(6) $\sin^2 x = x^2 - \frac{1}{6}x^4 + \cdots$

問題2:

(1) $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + ...$