次の極限値を求めよ。 $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(8x^2+2) - 2\log_2(5x+3)\}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めよ。

$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(8x^2+2) - 2\log_2(5x+3)\}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

$2\log_2(5x+3) = \log_2((5x+3)^2)$

したがって、

$\log_2(8x^2+2) - 2\log_2(5x+3) = \log_2(8x^2+2) - \log_2((5x+3)^2)$

対数の差は商の対数に等しいので、

$\log_2(8x^2+2) - \log_2((5x+3)^2) = \log_2\left(\frac{8x^2+2}{(5x+3)^2}\right)$

$(5x+3)^2 = 25x^2 + 30x + 9$ であるから、

$\log_2\left(\frac{8x^2+2}{(5x+3)^2}\right) = \log_2\left(\frac{8x^2+2}{25x^2+30x+9}\right)$

$x \to \infty$ のとき、分数の分子と分母を$x^2$で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{8x^2+2}{25x^2+30x+9} = \lim_{x \to \infty} \frac{8+\frac{2}{x^2}}{25+\frac{30}{x}+\frac{9}{x^2}} = \frac{8}{25}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_2\left(\frac{8x^2+2}{25x^2+30x+9}\right) = \log_2\left(\lim_{x \to \infty} \frac{8x^2+2}{25x^2+30x+9}\right) = \log_2\left(\frac{8}{25}\right)$

3. 最終的な答え

$\log_2\left(\frac{8}{25}\right)$