与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} - y = 0$ の一般解が $y=Cx$ であるとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} - y = 0$ の一般解が $y=Cx$ であるとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

一般解 $y = Cx$ は、微分方程式を満たします。特殊解は、一般解の定数 $C$ に特定の値を入れたものです。

与えられた選択肢の中で $y=Cx$ の形になっているものを探します。

$y = -1, y = 0, y = 1, y = x - 1, y = x, y = x+1, y = -x-1, y = -x, y = -x + 1$ のそれぞれについて、

微分方程式を満たすか、あるいは $y = Cx$ の形で表せるかを検討します。

* $y = -1$: $\frac{dy}{dx} = 0$ なので、$x \cdot 0 - (-1) = 1 \neq 0$。微分方程式を満たさない。

* $y = 0$: $\frac{dy}{dx} = 0$ なので、$x \cdot 0 - 0 = 0$。微分方程式を満たす。また、$y=0x$ とかけるので、$C=0$の時の特殊解となる。

* $y = 1$: $\frac{dy}{dx} = 0$ なので、$x \cdot 0 - 1 = -1 \neq 0$。微分方程式を満たさない。

* $y = x - 1$: $\frac{dy}{dx} = 1$ なので、$x \cdot 1 - (x - 1) = 1 \neq 0$。微分方程式を満たさない。

* $y = x$: $\frac{dy}{dx} = 1$ なので、$x \cdot 1 - x = 0$。微分方程式を満たす。また、$y = 1x$と書けるので、$C=1$の時の特殊解となる。

* $y = x + 1$: $\frac{dy}{dx} = 1$ なので、$x \cdot 1 - (x + 1) = -1 \neq 0$。微分方程式を満たさない。

* $y = -x - 1$: $\frac{dy}{dx} = -1$ なので、$x \cdot (-1) - (-x - 1) = 1 \neq 0$。微分方程式を満たさない。

* $y = -x$: $\frac{dy}{dx} = -1$ なので、$x \cdot (-1) - (-x) = 0$。微分方程式を満たす。また、$y=-1x$と書けるので、$C=-1$の時の特殊解となる。

* $y = -x + 1$: $\frac{dy}{dx} = -1$ なので、$x \cdot (-1) - (-x + 1) = -1 \neq 0$。微分方程式を満たさない。

3. 最終的な答え

特殊解となるものは、以下です。

* $y = 0$

* $y = x$

* $y = -x$