不定積分 $\int (-4x + 5t) dx$ を求めなさい。ただし、$t$は $x$ に無関係な定数とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-4x + 5t) dx$ を求めなさい。ただし、$t$は $x$ に無関係な定数とする。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、積分を分割します。

$\int (-4x + 5t) dx = \int -4x dx + \int 5t dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C_1 = -2x^2 + C_1$

$\int 5t dx = 5t \int 1 dx = 5tx + C_2$

積分を足し合わせます。

$\int (-4x + 5t) dx = -2x^2 + 5tx + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-2x^2 + 5tx + C$