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不定積分 $\int (-4x + 5t) dx$ を求めなさい。ただし、$t$は $x$ に無関係な定数とする。

解析学不定積分積分変数変換
2025/4/4

1. 問題の内容

不定積分 ∫(−4x+5t)dx\int (-4x + 5t) dx を求めなさい。ただし、ttは xx に無関係な定数とする。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、積分を分割します。
∫(−4x+5t)dx=∫−4xdx+∫5tdx\int (-4x + 5t) dx = \int -4x dx + \int 5t dx
それぞれの積分を計算します。
∫−4xdx=−4∫xdx=−4⋅12x2+C1=−2x2+C1\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C_1 = -2x^2 + C_1
∫5tdx=5t∫1dx=5tx+C2\int 5t dx = 5t \int 1 dx = 5tx + C_2
積分を足し合わせます。
∫(−4x+5t)dx=−2x2+5tx+C\int (-4x + 5t) dx = -2x^2 + 5tx + C
ここで、C=C1+C2C = C_1 + C_2 は積分定数です。

3. 最終的な答え

−2x2+5tx+C-2x^2 + 5tx + C

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