不定積分 $\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt$ を求めよ。ただし、$x$ は $t$ に無関係とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt$ を求めよ。ただし、$x$ は $t$ に無関係とする。

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに計算できます。

まず、$\int -5t^2 dt$ を計算します。

$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int -5t^2 dt = -5 \int t^2 dt = -5 \cdot \frac{t^3}{3} + C_1 = -\frac{5}{3}t^3 + C_1$ となります。

次に、$\int -2t dt$ を計算します。

$\int -2t dt = -2 \int t dt = -2 \cdot \frac{t^2}{2} + C_2 = -t^2 + C_2$ となります。

最後に、$\int 3x^2 dt$ を計算します。

$x$ は $t$ に無関係であるため、$3x^2$ は定数として扱えます。

$\int 3x^2 dt = 3x^2 \int 1 dt = 3x^2t + C_3$ となります。

したがって、$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt = -\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2t + C$ となります。ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2t + C$