スカラー場 $\phi, \psi$ の共通の定義域内にある任意の曲面 $S$ とその境界線 $C$ について、以下の等式を証明せよ。 $\int_S \{(\nabla \phi) \times (\nabla \psi)\} \cdot dS = \int_C \phi (\nabla \psi) \cdot ds$

1. 問題の内容

スカラー場 $\phi, \psi$ の共通の定義域内にある任意の曲面 $S$ とその境界線 $C$ について、以下の等式を証明せよ。

$\int_S \{(\nabla \phi) \times (\nabla \psi)\} \cdot dS = \int_C \phi (\nabla \psi) \cdot ds$

2. 解き方の手順

ストークスの定理を利用する。ストークスの定理は、ベクトル場 $F$ に対して、

$\int_S (\nabla \times F) \cdot dS = \oint_C F \cdot ds$

と表される。ここで、$S$ は向き付けられた曲面、$C$ はその境界曲線であり、$S$ の向きと $C$ の向きは右ねじの法則に従う。

与えられた等式の左辺にストークスの定理を適用するために、$F = \phi \nabla \psi$ とおく。このとき、

$\nabla \times F = \nabla \times (\phi \nabla \psi)$

ベクトル解析の公式を用いると、

$\nabla \times (\phi A) = \phi (\nabla \times A) + (\nabla \phi) \times A$

したがって、

$\nabla \times (\phi \nabla \psi) = \phi (\nabla \times (\nabla \psi)) + (\nabla \phi) \times (\nabla \psi)$

一般に、任意のスカラ―場 $\psi$ に対して $\nabla \times (\nabla \psi) = 0$ が成り立つので、

$\nabla \times (\phi \nabla \psi) = (\nabla \phi) \times (\nabla \psi)$

したがって、与えられた等式の左辺は

$\int_S \{(\nabla \phi) \times (\nabla \psi)\} \cdot dS = \int_S \{\nabla \times (\phi \nabla \psi)\} \cdot dS$

ストークスの定理を適用すると、

$\int_S \{\nabla \times (\phi \nabla \psi)\} \cdot dS = \oint_C (\phi \nabla \psi) \cdot ds$

これは与えられた等式の右辺に等しい。したがって、

$\int_S \{(\nabla \phi) \times (\nabla \psi)\} \cdot dS = \int_C \phi (\nabla \psi) \cdot ds$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\int_S \{(\nabla \phi) \times (\nabla \psi)\} \cdot dS = \int_C \phi (\nabla \psi) \cdot ds$