質量 $m$、断面積 $S$ のうきが密度 $\rho$ の水に浮いている。つりあって静止している時のうきの位置を原点として上向きに $x$ 軸をとる。うきが運動すると比例係数 $\gamma$ ($\gamma > 0$) の速度に比例する抵抗が働く。このとき、うきが上下に振動するときの運動方程式を書く。

1. 問題の内容

質量 $m$、断面積 $S$ のうきが密度 $\rho$ の水に浮いている。つりあって静止している時のうきの位置を原点として上向きに $x$ 軸をとる。うきが運動すると比例係数 $\gamma$ ($\gamma > 0$) の速度に比例する抵抗が働く。このとき、うきが上下に振動するときの運動方程式を書く。

2. 解き方の手順

うきに働く力は以下の３つである。

* 重力：$-mg$

* 浮力：$\rho S x g$　（$x$ が正のとき下向き、負のとき上向きに働く）

* 抵抗力：$-\gamma v = -\gamma \frac{dx}{dt}$ (速度 $v$ と逆向きに働く)

ここで、$g$ は重力加速度である。

静止しているとき、重力と浮力は釣り合っているので、静止時の水面からの沈み込みを $x_0$ とすると、

$mg = \rho S x_0 g$ が成り立つ。

うきが $x$ だけ変位したとき、浮力は $\rho S (x_0 + x) g$ となる。

したがって、変位 $x$ の位置での力の釣り合いは、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg + \rho S (x_0 + x) g - \gamma \frac{dx}{dt}$

となる。ここで、$mg = \rho S x_0 g$ を使うと、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg + \rho S x_0 g - \rho S x g - \gamma \frac{dx}{dt} = -\rho S x g - \gamma \frac{dx}{dt}$

よって、運動方程式は、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -\rho S g x - \gamma \frac{dx}{dt}$

3. 最終的な答え

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -\rho S g x - \gamma \frac{dx}{dt}$