磁束 $\Phi$ は磁束密度 $\mathbf{B}$ の面積分として $\Phi = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$ で定義される。ベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ は $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ で定義される。$\Phi$ を $\mathbf{A}$ の線積分で表す。

1. 問題の内容

磁束 $\Phi$ は磁束密度 $\mathbf{B}$ の面積分として $\Phi = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$ で定義される。ベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ は $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ で定義される。$\Phi$ を $\mathbf{A}$ の線積分で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた $\mathbf{B}$ の式を磁束の定義式に代入します。

$\Phi = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = \int_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S}$

次に、ストークスの定理を用います。ストークスの定理は、ベクトル場の回転の面積分が、そのベクトル場の境界における線積分に等しいという定理です。ストークスの定理を適用すると、

$\int_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$

ここで、$C$ は面 $S$ の境界を表し、$d\mathbf{l}$ は境界 $C$ に沿った微小な線要素です。したがって、磁束 $\Phi$ はベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ の線積分として表されます。

$\Phi = \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$

3. 最終的な答え

$\Phi = \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$