次の3次方程式を解く問題です。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^3 = 27$ (3) $8x^3 - 1 = 0$ (4) $(x-4)^3 = -1$ (5) $x^3 - x^2 + x = 0$

1. 問題の内容

次の3次方程式を解く問題です。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^3 = 27$

(3) $8x^3 - 1 = 0$

(4) $(x-4)^3 = -1$

(5) $x^3 - x^2 + x = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$

$x^3 = -8$

$x = \sqrt[3]{-8} = -2$

複素数解も考慮すると、 $x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$ と因数分解できるので、$x = -2$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ を解く。

$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x^3 = 27$

$x^3 - 27 = 0$

$x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ と因数分解できるので、$x = 3$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$ を解く。

$x^2 + 3x + 9 = 0$ を解くと、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

(3) $8x^3 - 1 = 0$

$8x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

複素数解も考慮すると、 $(2x)^3 - 1^3 = (2x-1)(4x^2 + 2x + 1) = 0$ と因数分解できるので、$x = \frac{1}{2}$ または $4x^2 + 2x + 1 = 0$ を解く。

$4x^2 + 2x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{4}$

(4) $(x-4)^3 = -1$

$x-4 = \sqrt[3]{-1} = -1$

$x = 4 - 1 = 3$

複素数解も考慮すると、 $(x-4)^3 + 1^3 = (x-4+1)((x-4)^2 - (x-4) + 1) = 0$

$(x-3)(x^2 - 8x + 16 - x + 4 + 1) = (x-3)(x^2 - 9x + 21) = 0$

$x^2 - 9x + 21 = 0$ を解くと、$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 84}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{3}i}{2}$

(5) $x^3 - x^2 + x = 0$

$x(x^2 - x + 1) = 0$

よって、$x=0$ または $x^2 - x + 1 = 0$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x = 3, \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

(3) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{4}$

(4) $x = 3, \frac{9 \pm \sqrt{3}i}{2}$

(5) $x = 0, \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$