与えられた2つの $n$ 次正方行列 $A$ と $B$ の行列式をそれぞれ求めよ。ここで、$x$ は実数である。行列 $A$ は対角成分が1、それ以外の成分が $x$ である行列。行列 $B$ は対角成分が2、対角成分の上下に1、それ以外の成分は0である行列。

1. 問題の内容

与えられた2つの $n$ 次正方行列 $A$ と $B$ の行列式をそれぞれ求めよ。ここで、$x$ は実数である。行列 $A$ は対角成分が1、それ以外の成分が $x$ である行列。行列 $B$ は対角成分が2、対角成分の上下に1、それ以外の成分は0である行列。

2. 解き方の手順

**行列Aの行列式**

行列 $A$ の行列式を計算するために、$A = (1-x)I + xJ$と表す。ここで、$I$ は $n$ 次の単位行列、$J$ はすべての要素が1である $n$ 次の行列である。

$|A| = |(1-x)I + xJ| = (1-x)^n |I + \frac{x}{1-x} J|$

ここで、$J$ の固有値は $n$ (重複度1) と 0 (重複度 $n-1$) であるから、$I + \frac{x}{1-x} J$ の固有値は $1 + \frac{x}{1-x}n$ (重複度1) と 1 (重複度 $n-1$) である。したがって、

$|I + \frac{x}{1-x} J| = (1 + \frac{nx}{1-x}) \cdot 1^{n-1} = 1 + \frac{nx}{1-x} = \frac{1 + (n-1)x}{1-x}$

よって、

$|A| = (1-x)^n \frac{1+(n-1)x}{1-x} = (1-x)^{n-1}(1+(n-1)x)$

**行列Bの行列式**

行列 $B$ の行列式を $D_n$ とする。

$D_1 = 2, D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$

$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2(3) - 1(2) = 4$

$B$ の行列式は漸化式を用いて計算できる。$n$次の行列式 $D_n$ は、第一行で展開することで以下のように書ける。

$D_n = 2 D_{n-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{vmatrix} = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

したがって、$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$。

この漸化式は、$D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ であることを意味する。つまり、$D_n$ は等差数列である。

$D_1 = 2, D_2 = 3$ なので、公差は1である。したがって、$D_n = n+1$

3. 最終的な答え

行列 $A$ の行列式は $(1-x)^{n-1}(1+(n-1)x)$

行列 $B$ の行列式は $n+1$