二つの不等式 $\frac{x+3}{4} \leq \frac{2}{3}x - 1$ ...(1) $\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ ...(2) がある。ただし、$a$ は定数である。 (1) 不等式(1),(2)をそれぞれ解け。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。 (3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$ の2つの解がともに不等式(1)と(2)の共通範囲内にあるような$a$の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解答します。

1. 問題の内容

二つの不等式

$\frac{x+3}{4} \leq \frac{2}{3}x - 1$ ...(1)

$\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ ...(2)

がある。ただし、$a$ は定数である。

(1) 不等式(1),(2)をそれぞれ解け。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。

(3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$ の2つの解がともに不等式(1)と(2)の共通範囲内にあるような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解く。

$\frac{x+3}{4} \leq \frac{2}{3}x - 1$

両辺に12をかける。

$3(x+3) \leq 8x - 12$

$3x + 9 \leq 8x - 12$

$-5x \leq -21$

$x \geq \frac{21}{5}$

不等式(2)を解く。

$\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$

両辺に15をかける。

$5(x-2a) \leq 3(x-4)$

$5x - 10a \leq 3x - 12$

$2x \leq 10a - 12$

$x \leq 5a - 6$

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような$a$の値を求める。

(1)より、

$x \geq \frac{21}{5} = 4.2$

$x \leq 5a - 6$

したがって、不等式(1)と(2)を同時に満たす整数は5, 6。

$5 \leq x \leq 6$

$6 < 5a - 6 \leq 7$

$12 < 5a \leq 13$

$\frac{12}{5} < a \leq \frac{13}{5}$

(3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$ の解を求める。

$x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$

$(x - a)(x - (a+1)) = 0$

$x = a$ または $x = a+1$

この2つの解がともに不等式(1)と(2)の共通範囲内にある。

すなわち、

$x \geq \frac{21}{5}$

$x \leq 5a - 6$

$a \geq \frac{21}{5}$ かつ $a+1 \leq 5a - 6$

$a \geq \frac{21}{5}$ かつ $4a \geq 7$

$a \geq \frac{21}{5}$ かつ $a \geq \frac{7}{4}$

$a \geq \frac{21}{5} = 4.2$

$a+1 \geq \frac{21}{5}$ かつ $a \leq 5a - 6$

$a \geq \frac{16}{5}$ かつ $4a \geq 6$

$a \geq \frac{16}{5}$ かつ $a \geq \frac{3}{2}$

$a \geq \frac{16}{5} = 3.2$

$a \leq 5a-6$かつ$a+1 \leq 5a-6$より$a \geq 3/2, a \geq 7/4$ なので$a \geq 7/4$

よって、$a \geq \frac{21}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 不等式(1)の解: $x \geq \frac{21}{5}$

不等式(2)の解: $x \leq 5a - 6$

(2) $\frac{12}{5} < a \leq \frac{13}{5}$

(3) $a \geq \frac{21}{5}$