与えられた4次正方行列 $A$ の行列式 $|A|$ の値を求める問題です。 行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4次正方行列 $A$ の行列式 $|A|$ の値を求める問題です。

行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算する際、行や列に関する操作（行基本変形）を用いて、計算を簡略化することが有効です。今回は、第2行に0があることを利用して、展開することで計算量を減らします。

$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{vmatrix}$

第2行に沿って余因子展開を行います。

$|A| = -2 \begin{vmatrix} 2 & -8 & 9 \\ -1 & 4 & -2 \\ 3 & -9 & 6 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 4 & -8 & 9 \\ 3 & 4 & -2 \\ -7 & -9 & 6 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 4 & 2 & 9 \\ 3 & -1 & -2 \\ -7 & 3 & 6 \end{vmatrix} + (-3)(-1) \begin{vmatrix} 4 & 2 & -8 \\ 3 & -1 & 4 \\ -7 & 3 & -9 \end{vmatrix}$

$|A| = -2 \begin{vmatrix} 2 & -8 & 9 \\ -1 & 4 & -2 \\ 3 & -9 & 6 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 4 & 2 & 9 \\ 3 & -1 & -2 \\ -7 & 3 & 6 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 2 & -8 \\ 3 & -1 & 4 \\ -7 & 3 & -9 \end{vmatrix}$

それぞれの3次行列式を計算します。

一つ目の3次行列式：

$\begin{vmatrix} 2 & -8 & 9 \\ -1 & 4 & -2 \\ 3 & -9 & 6 \end{vmatrix} = 2(4 \cdot 6 - (-2)(-9)) - (-8)((-1) \cdot 6 - (-2)(3)) + 9((-1)(-9) - 4 \cdot 3) = 2(24-18) + 8(-6+6) + 9(9-12) = 2(6) + 8(0) + 9(-3) = 12 + 0 - 27 = -15$

二つ目の3次行列式：

$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 9 \\ 3 & -1 & -2 \\ -7 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 4((-1) \cdot 6 - (-2)(3)) - 2(3 \cdot 6 - (-2)(-7)) + 9(3 \cdot 3 - (-1)(-7)) = 4(-6+6) - 2(18-14) + 9(9-7) = 4(0) - 2(4) + 9(2) = 0 - 8 + 18 = 10$

三つ目の3次行列式：

$\begin{vmatrix} 4 & 2 & -8 \\ 3 & -1 & 4 \\ -7 & 3 & -9 \end{vmatrix} = 4((-1)(-9) - 4 \cdot 3) - 2(3(-9) - 4(-7)) + (-8)(3 \cdot 3 - (-1)(-7)) = 4(9-12) - 2(-27+28) - 8(9-7) = 4(-3) - 2(1) - 8(2) = -12 - 2 - 16 = -30$

$|A| = -2(-15) - 6(10) + 3(-30) = 30 - 60 - 90 = -120$

3. 最終的な答え

$|A| = -120$