与えられた行列式を因数分解する問題です。行列式は次の通りです。 $\begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式を因数分解する問題です。行列式は次の通りです。

$\begin{vmatrix}

-a & a & a & b \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

b & a & a & -a

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用して計算を簡略化します。

1. 1行目、2行目、3行目を全て足して4行目に加えます。すると、4行目の全ての要素は$a+b$になります。

$\begin{vmatrix}

-a & a & a & b \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

a+b & a+b & a+b & a+b

\end{vmatrix}$

2. 4行目から$(a+b)$を括り出します。

$(a+b) \begin{vmatrix}

-a & a & a & b \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

1 & 1 & 1 & 1

\end{vmatrix}$

3. 4行目を基準にして、1列目から2列目、3列目、4列目を引きます。

$(a+b) \begin{vmatrix}

-2a & 0 & 0 & b-a \\

2a & -a-b & b-a & a-a \\

0 & b-a & -a-b & a-a \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{vmatrix} = (a+b) \begin{vmatrix}

-2a & 0 & 0 & b-a \\

2a & -a-b & b-a & 0 \\

0 & b-a & -a-b & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{vmatrix}$

4. 4列目に関して余因子展開を行うと、行列式は次のようになります。

$(a+b) \begin{vmatrix}

-2a & 0 & 0 \\

2a & -a-b & b-a \\

0 & b-a & -a-b

\end{vmatrix}$

5. 1行目に関して余因子展開を行うと、行列式は次のようになります。

$(a+b) (-2a) \begin{vmatrix}

-a-b & b-a \\

b-a & -a-b

\end{vmatrix}$

6. 2x2の行列式を計算します。

$(a+b)(-2a)[(-a-b)(-a-b) - (b-a)(b-a)]$

$= (a+b)(-2a)[(a+b)^2 - (b-a)^2]$

$= (a+b)(-2a)[(a^2 + 2ab + b^2) - (b^2 - 2ab + a^2)]$

$= (a+b)(-2a)(4ab)$

$= -8a^2b(a+b)$

3. 最終的な答え

$-8a^2b(a+b)$