3次元ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ を、3次元ベクトル $\begin{pmatrix} -2+q+3x+(2+p)x^2+3y+3z \\ -2x-2y+(-2+r)y^3+3z \\ 3x+3y-2z \end{pmatrix}$ に対応させる写像 $f$ を考える。写像 $f$ が線形写像となるための $p, q, r$ の条件を求め、その条件を満たすときに $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ と書ける行列 $A$ を求める。

1. 問題の内容

3次元ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ を、3次元ベクトル $\begin{pmatrix} -2+q+3x+(2+p)x^2+3y+3z \\ -2x-2y+(-2+r)y^3+3z \\ 3x+3y-2z \end{pmatrix}$ に対応させる写像 $f$ を考える。写像 $f$ が線形写像となるための $p, q, r$ の条件を求め、その条件を満たすときに $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ と書ける行列 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

写像 $f$ が線形写像であるためには、任意のベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ に対して、

\begin{enumerate}

\item $x^2$ および $y^3$ の項が存在しないこと。

\item 定数項が存在しないこと。

\end{enumerate}

が必要となる。

よって、$2+p=0$ かつ $-2+r=0$ かつ $-2+q = 0$ が必要である。したがって、$p=-2$, $q=2$, $r=2$ である。

$p=-2$, $q=2$, $r=2$ のとき、

$f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x+3y+3z \\ -2x-2y+3z \\ 3x+3y-2z \end{pmatrix}$ となる。

このとき、行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -2 & -2 & 3 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

となる。

3. 最終的な答え

$[p, q, r] = [-2, 2, 2]$

$A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -2 & -2 & 3 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}$