1次変換 $f$ が、基本ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $u = \begin{pmatrix} -12 \\ 9 \end{pmatrix}$ に、基本ベクトル $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $v = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ に写すとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) $f$ を表す行列を求めよ。 (2) $f$ による $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ の像を $au + bv$ の形で表すとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

1次変換 $f$ が、基本ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $u = \begin{pmatrix} -12 \\ 9 \end{pmatrix}$ に、基本ベクトル $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $v = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ に写すとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) $f$ を表す行列を求めよ。

(2) $f$ による $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ の像を $au + bv$ の形で表すとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f$ を表す行列を $A$ とすると、$A e_1 = u$、$A e_2 = v$ が成り立ちます。したがって、行列 $A$ は、

$A = \begin{pmatrix} -12 & -4 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$

となります。

(2) $f$ による $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ の像は、$A \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ で計算できます。

$A \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & -4 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 \\ 9 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 - 12 \\ 18 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -36 \\ 27 \end{pmatrix}$

一方、$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} -12 \\ 9 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12a - 4b \\ 9a + 3b \end{pmatrix}$.

したがって、

$\begin{pmatrix} -36 \\ 27 \end{pmatrix}$ を $au + bv$の形に表すと仮定すると、

$a \begin{pmatrix} -12 \\ 9 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = a u + b v$

$f \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 f \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 f \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 u + 3 v$

より、$a=2$, $b=3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f$ を表す行列は $\begin{pmatrix} -12 & -4 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $a = 2$, $b = 3$