(2) 関数 $y=ax^2$ において、$x$ の値が $-1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合が $3$ である。このとき、$a$ の値を求めよ。 (3) 関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $-1$ から $4$ まで変化するときの変化の割合が、関数 $y=-3x+2$ の変化の割合に等しいとき、$a$ の値を求めよ。 (4) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合が $-4$ である。この関数について、$x$ の値が $-2$ から $0$ まで増加するときの変化の割合を求めよ。

1. 問題の内容

(2) 関数 $y=ax^2$ において、$x$ の値が $-1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合が $3$ である。このとき、$a$ の値を求めよ。

(3) 関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $-1$ から $4$ まで変化するときの変化の割合が、関数 $y=-3x+2$ の変化の割合に等しいとき、$a$ の値を求めよ。

(4) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合が $-4$ である。この関数について、$x$ の値が $-2$ から $0$ まで増加するときの変化の割合を求めよ。

2. 解き方の手順

(2) 変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。$x$ が $-1$ から $3$ まで変化するとき、$y$ は $a(3)^2 = 9a$ から $a(-1)^2 = a$ まで変化します。

変化の割合は、

$\frac{9a - a}{3 - (-1)} = \frac{8a}{4} = 2a$

これが $3$ に等しいので、

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

(3) 関数 $y=ax^2$ において、$x$ が $-1$ から $4$ まで変化するときの変化の割合は、

$\frac{a(4)^2 - a(-1)^2}{4 - (-1)} = \frac{16a - a}{5} = \frac{15a}{5} = 3a$

関数 $y=-3x+2$ の変化の割合は $-3$ です。

したがって、

$3a = -3$

$a = -1$

(4) 関数 $y=ax^2$ において、$x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの変化の割合は、

$\frac{a(3)^2 - a(1)^2}{3 - 1} = \frac{9a - a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a$

これが $-4$ に等しいので、

$4a = -4$

$a = -1$

$x$ が $-2$ から $0$ まで変化するときの変化の割合は、

$\frac{a(0)^2 - a(-2)^2}{0 - (-2)} = \frac{0 - 4a}{2} = -2a$

$a = -1$ なので、

$-2a = -2(-1) = 2$

3. 最終的な答え

(2) $a = \frac{3}{2}$

(3) $a = -1$

(4) $2$