2次元数ベクトル空間を定義域とする線形写像 $f$ があり、$v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $w_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、$v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を $w_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ にそれぞれ写すとする。このとき、$f$ を表す行列 $A$ を求める。

1. 問題の内容

2次元数ベクトル空間を定義域とする線形写像 $f$ があり、$v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $w_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、$v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を $w_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ にそれぞれ写すとする。このとき、$f$ を表す行列 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、基本ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $v_1$ と $v_2$ の線形結合で表す。

つまり、$e_1 = av_1 + bv_2$ および $e_2 = cv_1 + dv_2$ を満たす $a, b, c, d$ を求める。

$e_1 = av_1 + bv_2$ より、$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ であるから、

$\begin{cases} -3a - 2b = 1 \\ 2a + 3b = 0 \end{cases}$

この連立方程式を解くと、

$6a + 9b = 0$ より、$-3a - 2b = 1$ に3をかけると、$-9a - 6b = 3$

$2a + 3b = 0$ に2をかけると、$4a + 6b = 0$

両式を足すと、$-5a = 3$ より、$a = -\frac{3}{5}$

$2(-\frac{3}{5}) + 3b = 0$ より、$-\frac{6}{5} + 3b = 0$ より、$3b = \frac{6}{5}$ より、$b = \frac{2}{5}$

$e_2 = cv_1 + dv_2$ より、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ であるから、

$\begin{cases} -3c - 2d = 0 \\ 2c + 3d = 1 \end{cases}$

この連立方程式を解くと、

$6c + 9d = 3$ より、$-3c - 2d = 0$ に3をかけると、$-9c - 6d = 0$

$2c + 3d = 1$ に2をかけると、$4c + 6d = 2$

両式を足すと、$-5c = 2$ より、$c = -\frac{2}{5}$

$2(-\frac{2}{5}) + 3d = 1$ より、$-\frac{4}{5} + 3d = 1$ より、$3d = \frac{9}{5}$ より、$d = \frac{3}{5}$

よって、$a = -\frac{3}{5}, b = \frac{2}{5}, c = -\frac{2}{5}, d = \frac{3}{5}$ である。

$Ae_1 = aw_1 + bw_2$ および $Ae_2 = cw_1 + dw_2$ であるから、

$Ae_1 = (-\frac{3}{5})\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (\frac{2}{5})\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{5} - \frac{4}{5} \\ \frac{21}{5} - \frac{6}{5} \\ -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} \\ -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$Ae_2 = (-\frac{2}{5})\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (\frac{3}{5})\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{5} - \frac{6}{5} \\ \frac{14}{5} - \frac{9}{5} \\ -\frac{2}{5} + \frac{12}{5} \\ -\frac{2}{5} + \frac{12}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

したがって、行列 $A$ は $A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$[a, b, c, d] = [-\frac{3}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{2}{5}, \frac{3}{5}]$

$A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$