## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

2つの不等式が与えられています。

不等式1: $\frac{x+3}{4} \le \frac{2}{3}x - 1$

不等式2: $\frac{x-2a}{3} \le \frac{x-4}{5}$

ただし、$a$は定数です。

(1) 不等式1, 2をそれぞれ解く。

(2) 不等式1と2を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような$a$の値の範囲を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$ の2つの解がともに不等式1と2の共通範囲内にあるような$a$の値の範囲を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 不等式1, 2をそれぞれ解く**

* **不等式1:**

$\frac{x+3}{4} \le \frac{2}{3}x - 1$

両辺に12をかける。

$3(x+3) \le 8x - 12$

$3x + 9 \le 8x - 12$

$-5x \le -21$

$x \ge \frac{21}{5}$

$x \ge 4.2$

* **不等式2:**

$\frac{x-2a}{3} \le \frac{x-4}{5}$

両辺に15をかける。

$5(x-2a) \le 3(x-4)$

$5x - 10a \le 3x - 12$

$2x \le 10a - 12$

$x \le 5a - 6$

**(2) 不等式1と2を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような $a$ の値の範囲を求める**

不等式1の解は$x \ge 4.2$であり、不等式2の解は$x \le 5a - 6$です。

2つの不等式を同時に満たす整数がちょうど2個存在するためには、不等式1と2の共通範囲が、5と6の2つの整数を含む必要があります。

したがって、以下の条件が成り立ちます。

* $5 \le 5a - 6 < 7$

各辺に6を加える。

$11 \le 5a < 13$

各辺を5で割る。

$\frac{11}{5} \le a < \frac{13}{5}$

$2.2 \le a < 2.6$

**(3) 2次方程式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$ の2つの解がともに不等式1と2の共通範囲内にあるような $a$ の値の範囲を求める**

2次方程式を解く。

$x^2 - (2a+1)x + a(a+1) = 0$

$(x-a)(x-(a+1)) = 0$

$x = a, a+1$

2つの解 $a$ と $a+1$ がともに不等式1と2の共通範囲内にあるためには、

$a \ge 4.2$ かつ $a+1 \le 5a - 6$ である必要がある。

$a \ge 4.2$

$a+1 \le 5a - 6$

$7 \le 4a$

$a \ge \frac{7}{4}$

$a \ge 1.75$

また、$a+1 \le 5a-6$ より、$a \ge \frac{7}{4}$でなければならない。

さらに、$a$ と $a+1$ が共通範囲内にあるには、$4.2 \le a$ と $a+1 \le 5a - 6$ が必要である。

$a+1 \le 5a-6$ を解くと、$4a \ge 7$ となり、$a \ge \frac{7}{4} = 1.75$ となる。

共通範囲は、$4.2 \le a$ かつ $a+1 \le 5a-6$、つまり $4.2 \le a$ と $a \ge 1.75$ の両方を満たす必要がある。

さらに、$a+1$ も共通範囲の上限より小さくなければならない。つまり、$a+1 \le 5a - 6$ でなければならない。

$4.2 \le a$ かつ $a+1 \le 5a - 6$

$a+1 \le 5a - 6$ を解くと、 $4a \ge 7$ つまり、$a \ge \frac{7}{4}=1.75$ となる。

また、$a+1 \le 5a - 6$ から、$a \ge \frac{7}{4}$ となる。

したがって、$a$ は $4.2 \le a$ と $a \ge \frac{7}{4}$ の両方を満たす必要がある。

つまり、$a \ge 4.2$。

また、$a+1 \le 5a-6$ を満たす必要があるので、$a \ge \frac{7}{4}$。

共通範囲は$4.2 \le x \le 5a - 6$ であるので、$a$と$a+1$がこの範囲に含まれるためには、

$4.2 \le a$ かつ $a+1 \le 5a - 6$。

$a \ge 4.2$ かつ $4a \ge 7$、つまり $a \ge 4.2$ かつ $a \ge 1.75$。

したがって、$a \ge 4.2$。

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3. 最終的な答え

(1) 不等式1の解: $x \ge \frac{21}{5}$ (または $x \ge 4.2$)

不等式2の解: $x \le 5a - 6$

(2) $\frac{11}{5} \le a < \frac{13}{5}$ (または $2.2 \le a < 2.6$)

(3) $a \ge 4.2$