与えられた1次方程式 $\sqrt{3}x + \sqrt{2} = -\sqrt{2}x + \sqrt{3}$ を解いて、$x$ の値を求めます。

## 問題 2.1 (1次方程式)

1. 問題の内容

与えられた1次方程式 $\sqrt{3}x + \sqrt{2} = -\sqrt{2}x + \sqrt{3}$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を含む項を左辺に、定数項を右辺に移行します。

$\sqrt{3}x + \sqrt{2}x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

次に、左辺を $x$ でくくります。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

最後に、両辺を $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ で割ります。

$x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ を掛けます。

$x = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$

$x = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2}$

$x = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{1}$

$x = 5 - 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = 5 - 2\sqrt{6}$

## 問題 2.2 (連立方程式)

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$$

\begin{cases}

x + 2y + z = 3 \\

2x + 3y + 4z = 5 \\

3x - y + 2z = 2

\end{cases}

$$

を解いて、$x, y, z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式に番号を付けます。

(1) $x + 2y + z = 3$

(2) $2x + 3y + 4z = 5$

(3) $3x - y + 2z = 2$

(1)式を2倍して、(2)式から引きます。

$2 \times (1) - (2) : 2(x + 2y + z) - (2x + 3y + 4z) = 2(3) - 5$

$2x + 4y + 2z - 2x - 3y - 4z = 6 - 5$

$y - 2z = 1$ (4)

(1)式を3倍して、(3)式から引きます。

$3 \times (1) - (3) : 3(x + 2y + z) - (3x - y + 2z) = 3(3) - 2$

$3x + 6y + 3z - 3x + y - 2z = 9 - 2$

$7y + z = 7$ (5)

(4)式より $y = 1 + 2z$ であるので、これを(5)式に代入します。

$7(1 + 2z) + z = 7$

$7 + 14z + z = 7$

$15z = 0$

$z = 0$

$z=0$ を(4)式に代入すると $y = 1 + 2(0) = 1$

$z=0$ と $y=1$ を(1)式に代入すると $x + 2(1) + 0 = 3$

$x + 2 = 3$

$x = 1$

3. 最終的な答え

$x = 1, y = 1, z = 0$

## 問題 2.3 (1次不等式)

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$$

\begin{cases}

\frac{x-2}{3} \geq \frac{x-1}{5} \\

\sqrt{3x} - 1 > 2(\sqrt{2x-3})

\end{cases}

$$

を解いて、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、上の不等式を解きます。

$\frac{x-2}{3} \geq \frac{x-1}{5}$

両辺に15を掛けます。

$5(x-2) \geq 3(x-1)$

$5x - 10 \geq 3x - 3$

$2x \geq 7$

$x \geq \frac{7}{2}$

次に、下の不等式を解きます。

$\sqrt{3x} - 1 > 2\sqrt{2x-3}$

$\sqrt{3x} > 2\sqrt{2x-3} + 1$

両辺を2乗します。

$3x > 4(2x-3) + 4\sqrt{2x-3} + 1$

$3x > 8x - 12 + 4\sqrt{2x-3} + 1$

$-5x + 11 > 4\sqrt{2x-3}$

ここで、$2x-3 \geq 0$ である必要があるので、$x \geq \frac{3}{2}$ が必要です。

また、$-5x + 11 > 0$ であれば両辺を2乗でき、$x < \frac{11}{5}$ です。

両辺を2乗します。

$25x^2 - 110x + 121 > 16(2x-3)$

$25x^2 - 110x + 121 > 32x - 48$

$25x^2 - 142x + 169 > 0$

$(25x - 169)(x - 1) > 0$

したがって、$x < 1$ または $x > \frac{169}{25} = 6.76$

$x \geq \frac{3}{2}$, $x < \frac{11}{5}$, $x < 1$ または $x > 6.76$ を満たす範囲は存在しません。

$-5x + 11 < 0$ の場合は、$4\sqrt{2x-3}$ が正であるため、不等式は常に満たされません。

このとき、$x > \frac{11}{5}$ であり、$x \geq \frac{3}{2}$ を満たす必要があります。

したがって、$x \geq \frac{7}{2}$ と $x > 6.76$ の共通範囲を求めます。$x > 6.76$

3. 最終的な答え

$x > \frac{169}{25}$