放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2, 4である。 (1) 直線ABの式を求める。 (2) 放物線上に原点と異なる点Pをとり、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるようにしたい。このような点Pは何通りあり、そのx座標は何かを求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2, 4である。

(1) 直線ABの式を求める。

(2) 放物線上に原点と異なる点Pをとり、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるようにしたい。このような点Pは何通りあり、そのx座標は何かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Aと点Bの座標を求める。

$A(-2, \frac{1}{2}(-2)^2) = A(-2, 2)$

$B(4, \frac{1}{2}(4)^2) = B(4, 8)$

次に、2点A, Bを通る直線の式を求める。

直線の傾きは $\frac{8-2}{4-(-2)} = \frac{6}{6} = 1$

よって、直線ABの式は $y = x + b$ の形になる。

A(-2, 2)を通るので、 $2 = -2 + b$ より $b = 4$

したがって、直線ABの式は $y = x + 4$

(2)

$\triangle AOB = \triangle APB$ より、点Pは直線ABと平行で、$\triangle AOB$ の面積と同じ面積になるように考えればよい。

直線ABと平行な直線を考えるとき、直線ABと平行で、原点を通る直線を考えると$y=x$となる。

点Pが原点ではないので、$y=x+k$とおいて、この直線と放物線の交点を求める。

$\frac{1}{2}x^2 = x+k$

$x^2 = 2x + 2k$

$x^2 - 2x - 2k = 0$

$\triangle AOB = \triangle APB$となるためには、$AB$と$l$の距離が等しくなる$l$を見つければ良い。

ABの中点Mは、$\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (1,5)$

ABと原点の距離は、$\frac{|0-0+4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$\triangle APB = \frac{1}{2} AB \cdot h$

$\triangle AOB = \frac{1}{2} AB \cdot 2\sqrt{2}$

よって、$\triangle APB$と$\triangle AOB$の面積が等しくなる条件は，$h = 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

$4 = |k|$

$k = \pm 4$

$k=4$はABと一致するので不適。

$k=-4$のとき、$x^2 - 2x + 8 = 0$

面積が等しいもう一つのケースは、点Pから直線ABへの距離と原点から直線ABへの距離が等しい時。

この場合、直線ABと平行な直線は2つ考えられる。

一つは原点を通る直線ABそのものなので、不適。

もう一つは$y=x+k$とおいて、$y=x$からABまでの距離が等しくなるような平行線。

この時$k \neq 0$

$\frac{1}{2}x^2 = x+k$

$x^2 - 2x - 2k = 0$

判別式$D = (-2)^2 - 4(-2k) = 4 + 8k > 0$

$8k > -4$

$k > -\frac{1}{2}$

△AOB = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH$

原点と直線ABとの距離 = $\frac{|0-0+4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

Pは放物線とABに平行な線の交点。

したがって、Pのとり方は1通り。

$\triangle APB = \triangle AOB$

面積が同じになる点PはP = (0,0)である場合も考えることができる。

(2)　$y = x+k$と$y=\frac{1}{2}x^2$の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x^2=x+k$　$x^2-2x-2k=0$

2つの解を持つとき，$D/4 = (-1)^2-(-2k) = 1+2k>0　k>-\frac{1}{2}$

△AOB=△APBとなるのは，ABと点Pとの距離と原点との距離が等しい時なので

AB:x-y+4=0

△AOB面積　$\frac{1}{2}*AB*ABと原点の距離$

ABと原点の距離 = $\frac{|0-0+4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

ABと点Pの距離 = $2\sqrt{2}$

点P(x, $\frac{1}{2}x^2$)

$\frac{|x-\frac{1}{2}x^2+4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$|x-\frac{1}{2}x^2+4|=4$

$x-\frac{1}{2}x^2+4=\pm4$

i. $x-\frac{1}{2}x^2+4=4$　$x-\frac{1}{2}x^2=0$　$x=0,2$

ii.$x-\frac{1}{2}x^2+4=-4$　$x-\frac{1}{2}x^2+8=0$　$x^2-2x-16=0$　$x=1\pm\sqrt{17}$

x=0は原点Pと一致するので不適．

P=(2,2),$(1+\sqrt{17},9+\sqrt{17})$,$(1-\sqrt{17},9-\sqrt{17})$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの式: $y = x + 4$

(2) 点Pのとり方は3通り。x座標は2, $1+\sqrt{17}$, $1-\sqrt{17}$