この問題は、連立不等式、関数の最大最小、長方形の面積の最大値、そして放物運動に関する問題の4つから構成されています。 * 1\. 連立不等式を解く問題。 $x^2 - x - 12 \le 0$ と $x^2 - 2x - 3 > 0$ を同時に満たす $x$ の範囲を求めます。 * 2\. $x+y=1$, $0 \le x \le 2$ のとき、 $x-2y^2$ の最小値と最大値を求めます。 * 3\. 周囲の長さが1の長方形の面積$S$の最大値を求めます。 * 4\. 秒速60mで打ち上げられた物体の$x$秒後の高さが $y=60x-5x^2$ で表されるとき、以下の問いに答えます。 * (1) 物体が最も高くなるのは何秒後か。また、その高さを求めます。 * (2) 物体の高さが100m以上160m以下になるのは、$x$がどのような範囲にあるときか求めます。

はい、承知いたしました。画像に書かれている数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は、連立不等式、関数の最大最小、長方形の面積の最大値、そして放物運動に関する問題の4つから構成されています。

* 1\. 連立不等式を解く問題。

$x^2 - x - 12 \le 0$ と $x^2 - 2x - 3 > 0$ を同時に満たす $x$ の範囲を求めます。

* 2\. $x+y=1$, $0 \le x \le 2$ のとき、 $x-2y^2$ の最小値と最大値を求めます。

* 3\. 周囲の長さが1の長方形の面積$S$の最大値を求めます。

* 4\. 秒速60mで打ち上げられた物体の$x$秒後の高さが $y=60x-5x^2$ で表されるとき、以下の問いに答えます。

* (1) 物体が最も高くなるのは何秒後か。また、その高さを求めます。

* (2) 物体の高さが100m以上160m以下になるのは、$x$がどのような範囲にあるときか求めます。

2. 解き方の手順

* 1\. 連立不等式

* $x^2 - x - 12 \le 0$ を因数分解すると、$(x-4)(x+3) \le 0$ となり、 $-3 \le x \le 4$ が得られます。

* $x^2 - 2x - 3 > 0$ を因数分解すると、$(x-3)(x+1) > 0$ となり、$x < -1$ または $x > 3$ が得られます。

* これらを同時に満たす範囲は、 $-3 \le x < -1$ または $3 < x \le 4$ となります。

* 2\. 関数の最大最小

* $x + y = 1$ より、$y = 1 - x$ となります。

* $x - 2y^2$ に代入すると、$x - 2(1 - x)^2 = x - 2(1 - 2x + x^2) = -2x^2 + 5x - 2$ となります。

* $f(x) = -2x^2 + 5x - 2$ とおくと、$f(x) = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$ と変形できます。

* $0 \le x \le 2$ の範囲で、$x = 0$ のとき $f(0) = -2$、$x = 2$ のとき $f(2) = 0$、$x=\frac{5}{4}$のとき$f(\frac{5}{4}) = \frac{9}{8}$。

* したがって、最小値は $-2$、最大値は $\frac{9}{8}$です。

* 3\. 長方形の面積の最大値

* 長方形の縦を $x$、横を $y$ とすると、周囲の長さは $2(x+y) = 1$ なので、$x + y = \frac{1}{2}$ となります。

* 面積 $S = xy = x(\frac{1}{2} - x) = -x^2 + \frac{1}{2}x = -(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{16}$ となります。

* $S$ が最大となるのは $x = \frac{1}{4}$ のときで、最大値は $\frac{1}{16}$です。

* 4\. 放物運動

* (1) $y = 60x - 5x^2$ を平方完成すると、$y = -5(x - 6)^2 + 180$ となります。

したがって、最も高くなるのは6秒後で、高さは180mです。

* (2) $100 \le 60x - 5x^2 \le 160$ を解きます。

* $60x - 5x^2 \ge 100$ より、$5x^2 - 60x + 100 \le 0$ となり、$x^2 - 12x + 20 \le 0$。$(x-2)(x-10) \le 0$なので、$2 \le x \le 10$。

* $60x - 5x^2 \le 160$ より、$5x^2 - 60x + 160 \ge 0$ となり、$x^2 - 12x + 32 \ge 0$。$(x-4)(x-8) \ge 0$なので、$x \le 4$ または $x \ge 8$。

* これらを同時に満たす範囲は、$2 \le x \le 4$ または $8 \le x \le 10$です。

3. 最終的な答え

* 1\. 連立不等式の解：$-3 \le x < -1$ または $3 < x \le 4$

* 2\. $x-2y^2$ の最小値：$-2$、最大値：$\frac{9}{8}$

* 3\. 長方形の面積の最大値：$\frac{1}{16}$

* 4\. 放物運動

* (1) 最も高くなるのは6秒後、高さは180m

* (2) 高さ100m以上160m以下になる $x$ の範囲：$2 \le x \le 4$ または $8 \le x \le 10$