与えられた関数について、指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$ (2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$ (3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$ (4) $y = x^2 - 4\log x \quad (1 \le x \le e)$

解析学最大値最小値微分関数の増減
2025/7/24

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された区間における最大値と最小値を求めます。
(1) y=x33x29x(2x4)y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)
(2) y=x55x4+5x3(1x3)y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)
(3) y=sinx+cosx(0xπ)y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)
(4) y=x24logx(1xe)y = x^2 - 4\log x \quad (1 \le x \le e)

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、次の手順で最大値と最小値を求めます。

1. 導関数を計算し、極値を求める。

2. 区間の端点と極値における関数の値を計算する。

3. これらの値の中で最大のものと最小のものを求める。

(1) y=x33x29xy = x^3 - 3x^2 - 9x
y=3x26x9=3(x22x3)=3(x3)(x+1)y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)
y=0y' = 0 となるのは x=3,1x = 3, -1
x=3x = 3x=1x = -1 は区間 [2,4][-2, 4] に含まれます。
y(2)=812+18=2y(-2) = -8 - 12 + 18 = -2
y(1)=13+9=5y(-1) = -1 - 3 + 9 = 5
y(3)=272727=27y(3) = 27 - 27 - 27 = -27
y(4)=644836=20y(4) = 64 - 48 - 36 = -20
(2) y=x55x4+5x3y = x^5 - 5x^4 + 5x^3
y=5x420x3+15x2=5x2(x24x+3)=5x2(x1)(x3)y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 1)(x - 3)
y=0y' = 0 となるのは x=0,1,3x = 0, 1, 3
x=0,1,3x = 0, 1, 3 は区間 [1,3][-1, 3] に含まれます。
y(1)=155=11y(-1) = -1 - 5 - 5 = -11
y(0)=0y(0) = 0
y(1)=15+5=1y(1) = 1 - 5 + 5 = 1
y(3)=35534+533=243405+135=27y(3) = 3^5 - 5 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^3 = 243 - 405 + 135 = -27
(3) y=sinx+cosxy = \sin x + \cos x
y=cosxsinxy' = \cos x - \sin x
y=0y' = 0 となるのは cosx=sinx\cos x = \sin x 、つまり x=π4x = \frac{\pi}{4}
x=π4x = \frac{\pi}{4} は区間 [0,π][0, \pi] に含まれます。
y(0)=sin0+cos0=0+1=1y(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1
y(π4)=sinπ4+cosπ4=22+22=2y(\frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
y(π)=sinπ+cosπ=0+(1)=1y(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1
(4) y=x24logxy = x^2 - 4\log x
y=2x4x=2x24x=2(x22)xy' = 2x - \frac{4}{x} = \frac{2x^2 - 4}{x} = \frac{2(x^2 - 2)}{x}
y=0y' = 0 となるのは x2=2x^2 = 2 、つまり x=2x = \sqrt{2}x>0x > 0 なので負の解は考えない)。
x=2x = \sqrt{2} は区間 [1,e][1, e] に含まれます。
y(1)=124log1=10=1y(1) = 1^2 - 4\log 1 = 1 - 0 = 1
y(2)=(2)24log2=2412log2=22log2y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 4\log \sqrt{2} = 2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = 2 - 2\log 2
y(e)=e24loge=e24y(e) = e^2 - 4\log e = e^2 - 4
ここで、22log222(0.693)=21.386=0.6142 - 2 \log 2 \approx 2 - 2(0.693) = 2 - 1.386 = 0.614
e247.3894=3.389e^2 - 4 \approx 7.389 - 4 = 3.389

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5 (x = -1), 最小値: -27 (x = 3)
(2) 最大値: 1 (x = 1), 最小値: -27 (x = 3)と -11 (x = -1)
(3) 最大値: 2\sqrt{2} (x = π4\frac{\pi}{4}), 最小値: -1 (x = π\pi)
(4) 最大値: e24e^2 - 4 (x = e), 最小値: 22log22 - 2\log 2 (x = 2\sqrt{2})

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