半径 $R$ ($R < L$) の円盤を中心から距離 $L$ だけ離れた軸の周りに回転させてできるドーナツの体積 $V(R)$ と表面積 $S(R)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $R$ ($R < L$) の円盤を中心から距離 $L$ だけ離れた軸の周りに回転させてできるドーナツの体積 $V(R)$ と表面積 $S(R)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) ドーナツの体積 $V(R)$ は、半径 $R$ の円盤を回転させたものなので、円柱の体積として計算できます。円盤の面積は $\pi R^2$ であり、回転軸からの距離は $L$ なので、回転によってできる円の円周は $2\pi L$ となります。したがって、ドーナツの体積は、

$V(R) = (\pi R^2) \times (2\pi L) = 2\pi^2 L R^2$

となります。

$V(R)$ を $R$ で微分すると、

$V'(R) = 4\pi^2 L R$ ...(1)

(2) ドーナツを薄いドーナツに分割し、それぞれの表面積を $S(R)$ とすると、$V(R)$ は $S(R)$ に分割の厚さをかけたものの和となります。分割を限りなく細かくすると、

$V(R) = \int_0^R S(r) dr$

ここで $r$ は $0$ から $R$ までの変数です。よって、積分記号を総和記号のシグマで近似すると、

$V(R) \approx \sum S(R) \Delta R$

分割を限りなく細かくすることで、

$V(R) = \int S(R) dR$...(2)

と考えることができます。

両辺を $R$ で微分すると、

$V'(R) = S(R)$ ...(3)

(3) (1)と(3)より、

$S(R) = 4\pi^2 L R$ ...(4)

3. 最終的な答え

(1) $V'(R) = 4\pi^2 L R$

(2) $V(R) = \int S(R) dR$

(3) $V'(R) = S(R)$

(4) $S(R) = 4\pi^2 L R$