## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

3点を通る円の方程式を求める問題です。

(1) は3点 $(-2, 3), (1, 0), (0, -1)$ を通る円の方程式を求めます。

(2) は3点 $(1, 0), (3, 2), (2, -1)$ を通る円の方程式を求めます。

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2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおきます。

3点の座標をこの方程式に代入して、$a, b, c$ に関する連立一次方程式を作ります。

この連立一次方程式を解いて、$a, b, c$ の値を求めます。

求めた $a, b, c$ の値を円の方程式に代入すると、求める円の方程式が得られます。

**(1) の場合**

3点 $(-2, 3), (1, 0), (0, -1)$ を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ に代入すると、以下の連立方程式を得ます。

\begin{align*}

4 + 9 - 2a + 3b + c &= 0 \\

1 + 0 + a + 0b + c &= 0 \\

0 + 1 + 0a - b + c &= 0

\end{align*}

整理すると、

\begin{align*}

-2a + 3b + c &= -13 \\

a + c &= -1 \\

-b + c &= -1

\end{align*}

第2式より $c = -1 - a$、第3式より $c = b - 1$ なので、$b = -a$

これを第1式に代入すると、

$-2a -3a + c = -13$

$-5a + c = -13$

$c = -1 - a$ を代入すると、

$-5a - 1 - a = -13$

$-6a = -12$

$a = 2$

$b = -a = -2$

$c = -1 - a = -1 - 2 = -3$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$ です。

**(2) の場合**

3点 $(1, 0), (3, 2), (2, -1)$ を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ に代入すると、以下の連立方程式を得ます。

\begin{align*}

1 + 0 + a + 0b + c &= 0 \\

9 + 4 + 3a + 2b + c &= 0 \\

4 + 1 + 2a - b + c &= 0

\end{align*}

整理すると、

\begin{align*}

a + c &= -1 \\

3a + 2b + c &= -13 \\

2a - b + c &= -5

\end{align*}

第1式より $c = -1 - a$ なので、

\begin{align*}

3a + 2b - 1 - a &= -13 \\

2a - b - 1 - a &= -5

\end{align*}

整理すると、

\begin{align*}

2a + 2b &= -12 \\

a - b &= -4

\end{align*}

さらに整理すると、

\begin{align*}

a + b &= -6 \\

a - b &= -4

\end{align*}

2式を足すと $2a = -10$ より $a = -5$

$b = a + 4 = -5 + 4 = -1$

$c = -1 - a = -1 - (-5) = 4$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$ です。

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3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$