直角三角形の三角比（$\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$）の計算、角度のラジアン変換、ラジアンの角度変換、および三角関数の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形の三角比（$\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$）の計算、角度のラジアン変換、ラジアンの角度変換、および三角関数の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta$ を求める。直角三角形の斜辺が13、対辺の長さが計算する必要がある。

対辺の長さを$x$とすると、三平方の定理より$x^2 + 5^2 = 13^2$なので、$x^2 + 25 = 169$、$x^2 = 144$、$x = 12$。よって、$\sin \theta = \frac{12}{13}$。

(2) $\cos \theta$ を求める。$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{5}{13}$。

(3) $\tan \theta$ を求める。$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{12}{5}$。

(4) 30°をラジアンに変換する。$30^{\circ} = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ ラジアン。

(5) 135°をラジアンに変換する。$135^{\circ} = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ ラジアン。

(6) $\frac{\pi}{5}$ ラジアンを角度に変換する。$\frac{\pi}{5} = \frac{180}{5} = 36^{\circ}$。

(7) $\sin 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 60^{\circ}$ を求める。

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$

(8) $\cos 90^{\circ} + \cos 120^{\circ} + \cos 135^{\circ} + \cos 150^{\circ} + \cos 180^{\circ}$ を求める。

$\cos 90^{\circ} = 0$

$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$

$\cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 180^{\circ} = -1$

$\cos 90^{\circ} + \cos 120^{\circ} + \cos 135^{\circ} + \cos 150^{\circ} + \cos 180^{\circ} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -\frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$

(9) $\tan 120^{\circ} + \tan 135^{\circ} + \tan 150^{\circ}$ を求める。

$\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$

$\tan 135^{\circ} = -1$

$\tan 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan 120^{\circ} + \tan 135^{\circ} + \tan 150^{\circ} = -\sqrt{3} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{3}$

(10) $\sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) + \cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \tan^{-1} (-1)$ を求める。

$\sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$

$\cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5\pi}{6}$

$\tan^{-1} (-1) = -\frac{\pi}{4}$

$\sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) + \cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \tan^{-1} (-1) = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{12}{13}$

(2) $\frac{5}{13}$

(3) $\frac{12}{5}$

(4) $\frac{\pi}{6}$

(5) $\frac{3\pi}{4}$

(6) $36^{\circ}$

(7) $\frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$

(8) $-\frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$

(9) $-\frac{4\sqrt{3} + 3}{3}$

(10) $\frac{3\pi}{4}$