四面体ABCDについて、与えられた条件（∠BAD = ∠CAD = ∠ACB = 90°）と定理を用いて、面BCDがどのような三角形であるかを判断し、その体積や面積、垂線の長さを求めます。さらに、外接円の中心を通る垂線の交点と球の表面積を求めます。

1. 問題の内容

四面体ABCDについて、与えられた条件（∠BAD = ∠CAD = ∠ACB = 90°）と定理を用いて、面BCDがどのような三角形であるかを判断し、その体積や面積、垂線の長さを求めます。さらに、外接円の中心を通る垂線の交点と球の表面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、線分ADと平面ABCに注目し、∠BAD = ∠CAD = 90°より、線分ADは平面ABCに垂直である。（①）

次に、平面ABC上の直線BCと線分ACに注目し、∠ACB = 90°より、AC⊥BCである。（②）

①と②より、**三垂線の定理** を用いることで、DC⊥BCが成り立つことが示される。したがって、面BCDは∠BCD = 90°の直角三角形である。

(2)

条件2として、AB = 5、AC = 3、AD = 6 が与えられている。また、∠BCD = 90°であることがわかっている。

(i)

四面体ABCDの体積を求める。

まず、三角形ABCは∠ACB = 90°の直角三角形なので、その面積は (1/2) * AC * BC = (1/2) * 3 * BCである。

次に、三平方の定理より、AB^2 = AC^2 + BC^2なので、5^2 = 3^2 + BC^2より、BC^2 = 25 - 9 = 16。よって、BC = 4である。

三角形ABCの面積は (1/2) * 3 * 4 = 6である。

四面体ABCDの体積は (1/3) * (三角形ABCの面積) * AD = (1/3) * 6 * 6 = 12である。よって、イウ=12

三角形BCDは∠BCD = 90°の直角三角形なので、CDを求める必要がある。

△ACDは∠CAD = 90°の直角三角形なので、CD^2 = AC^2 + AD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45。よって、CD = 3√5である。

三角形BCDの面積は (1/2) * BC * CD = (1/2) * 4 * 3√5 = 6√5である。よって、エ=6, オ=5

点Aから平面BCDに下ろした垂線と平面BCDの交点をIとすると、AIの長さを求める。

四面体ABCDの体積を、三角形BCDを底面としたときの高さAIを用いて表すと、(1/3) * (三角形BCDの面積) * AI = 12となる。

したがって、(1/3) * 6√5 * AI = 12 より、2√5 * AI = 12。

AI = 12 / (2√5) = 6/√5 = (6√5)/5である。よって、カ=6, キ=5, ク=5

(iii)

三角形ABCの外接円の中心を通り、平面ABCに垂直な直線をl、三角形BCDの外接円の中心を通り、平面BCDに垂直な直線をmとする。

このとき、2直線l, mは線分の中点で交わる。三角形ABC、BCDは直角三角形なので、それぞれAB, BDの中点を通る垂線がl, mとなる。

したがって、2直線l, mは線分**AD** の中点で交わる。よって、ケ=2

またこの交点をOとおくと、点Oを中心とし4点A、B、C、Dを通る球Kが存在し、この球Kの表面積を求める。

OA = OB = OC = OD = 球の半径Rとなる。

OA = AD/2 = 6/2 = 3である。

球の表面積は 4πR^2 = 4π * 3^2 = 4π * 9 = 36πである。よって、コサ=36

3. 最終的な答え

ア：2

イウ：12

エ：6

オ：5

カ：6

キ：5

ク：5

ケ：2

コサ：36