以下の3つの条件を満たす円の方程式をそれぞれ求めます。 (1) 中心が $(3, 4)$, 半径が $6$ (2) 2点 $A(2, 5)$, $B(0, -1)$ を結ぶ線分を直径とする (3) 中心が $(-2, 4)$ で、原点を通る

1. 問題の内容

以下の3つの条件を満たす円の方程式をそれぞれ求めます。

(1) 中心が $(3, 4)$, 半径が $6$

(2) 2点 $A(2, 5)$, $B(0, -1)$ を結ぶ線分を直径とする

(3) 中心が $(-2, 4)$ で、原点を通る

2. 解き方の手順

(1) 円の中心 $(a, b)$ と半径 $r$ が与えられたとき、円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表されます。

この問題では、中心が $(3, 4)$ で半径が $6$ なので、$a = 3$, $b = 4$, $r = 6$ を代入します。

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

(2) 2点 $A(2, 5)$, $B(0, -1)$ を結ぶ線分を直径とする円の中心は、線分 $AB$ の中点です。中点の座標は $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ で求められます。

この問題では、$(x_1, y_1) = (2, 5)$、$(x_2, y_2) = (0, -1)$ なので、中心の座標は

$\left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 2)$

次に、半径を求めます。半径は中心 $(1, 2)$ から点 $A(2, 5)$ または $B(0, -1)$ までの距離です。点 $(x_1, y_1)$ と点 $(x_2, y_2)$ の距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で求められます。

中心 $(1, 2)$ から点 $A(2, 5)$ までの距離は

$\sqrt{(2 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

したがって、円の方程式は

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{10})^2$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$

(3) 中心が $(-2, 4)$ で原点を通る円の方程式を求めます。

中心 $(-2, 4)$ から原点 $(0, 0)$ までの距離が半径になります。

半径 $r$ は

$r = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

したがって、円の方程式は

$(x - (-2))^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{20})^2$

$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

(2) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$