三角形ABCにおいて、Iは内心である。直線BIと辺ACの交点をD、直線AIと辺BCの交点をEとする。AB=5, BC=3, ID/BI=3/4のとき、BE/ECとACを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Iは内心である。直線BIと辺ACの交点をD、直線AIと辺BCの交点をEとする。AB=5, BC=3, ID/BI=3/4のとき、BE/ECとACを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ID/BI = 3/4 より、BI/ID = 4/3。よって、BDは角Bの二等分線であるから、角の二等分線の定理より、

$AB:BC = AD:DC$

$5:3 = AD:DC$

(2) ここで、AC = xとおくと、$AD = \frac{5}{8}x$、$DC = \frac{3}{8}x$となる。

(3) 次に、内心Iについて、BIは角Bの二等分線であるから、角の二等分線の性質より、

$AI:IE = (AB+BC):EC$

(4) また、チェバの定理より、

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

(5) ここでBE/ECを求める。Iは内心なので、AIは角Aの二等分線であるから、

$BE:EC = AB:AC = 5:x$

$\frac{BE}{EC} = \frac{5}{x}$

(6) $AD/DC = 5/3$なので、チェバの定理より

$\frac{5}{3} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{EB}{CE} = \frac{5}{x}$なので

$\frac{5}{3} \cdot \frac{x}{5} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{x}{3} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{BF}{FA} = \frac{3}{x}$

(7) ここで、$BI:ID = 4:3$なので、角の二等分線定理より

$AB:AD = BI:ID = 4:3$

$5:\frac{5}{8}x = 4:3$

$5 \cdot 3 = \frac{5}{8}x \cdot 4$

$15 = \frac{5}{2}x$

$x = 6$

(8) よって、$AC=6$。$BE/EC = 5/x = 5/6$。

3. 最終的な答え

BE/EC = 5/6

AC = 6