$f$ は平面ベクトルを $x$ 軸に関して折り返す変換、$g$ は直線 $y = x$ に関して折り返す変換とする。 (1) ベクトル $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ を求める。 (2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

1. 問題の内容

$f$ は平面ベクトルを $x$ 軸に関して折り返す変換、$g$ は直線 $y = x$ に関して折り返す変換とする。

(1) ベクトル $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ を求める。

(2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f$ は $x$ 軸に関する折り返しなので、点 $(x, y)$ は $(x, -y)$ に移る。

従って、

$$f(\vec{e_2}) = f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$g$ は $y=x$ に関する折り返しなので、点 $(x, y)$ は $(y, x)$ に移る。

従って、

$$g(\vec{e_2}) = g\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

(2)

1次変換は、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の行き先が決まれば一意に定まる。

そこで、$\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の行き先を考える。

まず、$g(\vec{e_1}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ であり、$g(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

次に、$f(g(\vec{e_1})) = f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ であり、$f(g(\vec{e_2})) = f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

従って、$f \circ g$ を表す行列は、

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

となる。

3. 最終的な答え

(1)

$f(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$g(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$