点A(3, 0)からの距離とある点Pとの距離の比が2:1であるとき、点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点A(3, 0)からの距離とある点Pとの距離の比が2:1であるとき、点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とおく。

点A(3, 0)と点P(x, y)の距離は、

$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

問題文より、点Aと点Pの距離の比が2:1であるから、

$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2}$

$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 2 \times 1$

点Pと原点の距離は $\sqrt{x^2 + y^2}$ である。問題文の条件から、A(3,0)からの距離が点Pと原点の距離の2倍になっているため、

$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x-3)^2 + y^2 = 4(x^2 + y^2)$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4x^2 + 4y^2$

$3x^2 + 6x + 3y^2 - 9 = 0$

$x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + y^2 - 3 - 1 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 4$

これは、中心が(-1, 0)、半径が2の円である。

3. 最終的な答え

中心(-1, 0), 半径2の円

$(x+1)^2 + y^2 = 4$